Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

für alle k ≥ m . Wenn diese Menge schwach abgeschlossen ist, gehört folglich auch derschwache Grenzwert x 0 von {x nk } ∞ k=1 zu dieser Menge, alsound somitf(x 0 ) ≤ a + δ ,f(x 0 ) ≤ a = lim infn→∞f(x n),weil δ > 0 beliebig war. Somit ist f schwach von unten halbstetig.Um den Beweis von Satz 6.3 fertig zu machen, sei also f von unten halbstetig. Es genügtzu zeigen, daß die Menge {x ∈ M ∣ ∣ f(x) ≤ ε} für jedes ε ∈ R schwach abgeschlossen ist.Da M und f konvex sind, ist auch diese Menge konvex wegenf ( tx + (1 − t)y ) ≤ tf(x) + (1 − t)f(y) ≤ ε .Konvexe Mengen sind nach Satz 5.13 schwach abgeschlossen, genau dann wenn sie abgeschlossensind. Da f von unten halbstetig ist, ist A ε = {x ∈ M ∣ ∣ f(x) ≤ ε} aberabgeschlossen, also schwach abgeschlossen. Somit ist f schwach von unten halbstetig.Zum Beweis sei x 0 ∈ A ε und {x n } ∞ n=1 ⊆ A ε mit x n → x 0 . Wegen der Halbstetigkeit vonf folgt dannf(x 0 ) ≤ lim infn→∞ f(x n) ≤ ε ,also x 0 ∈ A ε und somit A ε = A ε .Beispiel 6.4 (Konvexität der Norm) Sei H ein Hilbertraum mit Norm ‖ · ‖. Dannist x ↦→ ‖x‖ 2 : H → R stetig und strikt konvex. Denn für 0 < t < 1 und x ≠ y giltd 2dt 2 ‖tx + (1 − t)y‖2 = d2dt 2 [t 2 ‖x‖ 2 + 2t(1 − t)Re (x,y) + (1 − t) 2 ‖y‖ 2 ]= 2‖x‖ 2 − 4Re (x,y) + 2‖y‖ 2 = 2‖x − y‖ 2 > 0.Somit ist die Abbildung strikt konvex. Da diese Abbildung stetig ist, ist sie auch vonunten halbstetig, und somit schwach von unten halbstetig, d.h. für x n ⇀ x gilt‖x‖ 2 ≤ lim infn→∞ ‖x n‖ 2 .Dies wurde schon in Lemma 5.12 (i) gezeigt.6.2 Existenz eines MinimumsDefinition 6.5 (Koerzitivität) Eine Funktion f : H → (−∞, ∞] heißt koerzitiv,wenn Konstanten c 1 > 0,c 2 ≥ 0 existieren mitf(x) ≥ c 1 ‖x‖ 2 − c 2 .90