Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

für alle u ∈ M . Für alle anderen u ist W(u) = +∞ , also ist W koerzitiv.Es bleibt zu zeigen, daß W von unten halbstetig ist. Hierzu muß bewiesen werden, daßfür u ∈ L 2 (Ω) und für {u m } ∞ m=1 ⊆ L 2 (Ω) mit ‖u − u m ‖ Ω → 0 giltW(u) ≤ lim infm→∞W(u m).Falls lim inf m→∞ W(u m ) = +∞ gilt, ist dies richtig. Sei alsolim inf m→∞ W(u m ) = a < ∞ . Wähle eine Teilfolge {u ′ m} ∞ m=1 von {u m } ∞ m=1 aus mitlim m→∞ W(u ′ m) = α . Für alle genügend großen m ist dann W(u ′ m) < ∞ , also u ′ m ∈ M ;ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann also angenommen werden, daß {u ′ m} ∞ m=1 ⊆M ⊆ ◦ H1(Ω) ist. Nach Voraussetzung gilt für alle m ∈ N|u ′ m| 2 1,Ω ≤ 1 c 1(W(u′m ) + c 2)≤ r2mit einer geeigneten Konstanten r > 0 , also ist{ ∂ }u ′ ∞m∂x ⊆ B m=1 r(0) = { v ∈ L 2 (Ω) ∣ ‖v‖ Ω ≤ r } , i = 1,...,n.iDa B r (0) nach Satz 5.18 schwach folgenkompakt ist, gibt es eine Teilfolge {u ′′ m} ∞ m=1 von{u ′ m} ∞ m=1 und Funktionen w 1 ,...,w n ∈ B r (0) mit∂u ′′ m ⇀ w i ,∂x i L 2 (Ω)für alle i = 1,...,n. Für alle ϕ ∈ ◦ C∞(Ω) folgt nun( ∂(w i ,ϕ) Ω = lim u ′′m→∞ ∂xm,ϕ ) = − lim(Ω u′′m ,i m→∞und dies bedeutet, daß u ∈ H 1 (Ω) ist mit∂∂x iϕ ) Ω = −( u,∂∂x iϕ ) Ω ,∂∂x iu = w i ,i = 1,...,n.Es gilt somit ∂∂x iu ′′ ∂m ⇀L 2 ∂x(Ω) iu , und daraus folgt für alle v ∈ H 1 (Ω)[ ]limm→∞ (u′′ m,v) 1,Ω = lim (u′′m ,v) Ω + (∇u ′′ m, ∇v) Ωm→∞= (u,v) Ω + (∇u, ∇v) Ω = (u,v) 1,Ω ,alsou ′′ m ⇀H1 (Ω) u.103