Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

für fast alle x ∈ ∂Ω. Wegen j(ξ) ≥ 0 folgt aus dem Lemma von Fatou∫j ( [Bu](x) ) ∫dS x = lim j( [Bu ′′ m](x) ) dS x∂Ω∂Ωm→∞∫= lim inf j( [Bu ′′ m](x) ) dS x∂Ωm→∞∫≤ lim inf j ( [Bu ′′ m](x) ) dS xm→∞also ist u ∈ M ∗ und somit∫V 1 (u) =∂Ω∂Ω= lim inf V 1(u ′′ m)m→∞= lim V 1(u ′′ m)m→∞= lim V 1(u ′ m)m→∞= lim inf V 1(u m )m→∞< ∞,j ( [Bu](x) ) dS x ≤ lim infm→∞ V 1(u m ).Dies bedeutet, daß V 1 von unten halbstetig ist, und somit auch V : H 1 (Ω) → (−∞, ∞].Um zu zeigen, daß Ṽ : L2 (Ω) → (−∞, ∞] von unten halbstetig ist, beachte daß nachDefinition j(ξ) ≥ 0, also V 1 (v) ≥ 0 und somitV (v) = 1 2 |v2 1,Ω + V 1 (v) ≥ 1 2 |v|2 1,Ωgilt für alle v ∈ H 1 (Ω). Also erfüllt Ṽ die Voraussetzung von Lemma ??, und diesbedeutet, daß Ṽ nach Lemma ?? von unten halbstetig ist. Satz 8.1 ist bewiesen.Satz 8.2 Sei Ω ⊆ R n eine offene und beschränkte Menge mit Lipschitzrand. Sei j : R →R eine stetig differenzierbare, konvexe und strikt koerzitive Funktion mit j(0) = 0.Genau dann ist ω ∈ ∂Ṽ (u), wenn u ∈ M ∗ ist und wenn für alle v ∈ M ∗∫∣∣j ′( Bu(x) )( Bv(x) − Bu(x) )∣ ∣dS x < ∞sowiegilt.∫Ω∂Ω∇u(x) · (∇v(x)−+−≥∇u(x) ) dx∫j ′( Bu(x) )( Bv(x)∂ΩBu(x) ) dS x(ω,v − u) Ω115