Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Ich werde diesen Satz später beweisen. Dieser Satz gilt nicht für p = ∞ . DennalsoFür Ω = (−1, 1) istin H ∞ 1 (Ω) enthalten mitaber natürlich istalsoC ∞ m (Ω) ‖·‖m,∞ = C ∞ m (Ω),C ∞ ∞(Ω) ‖·‖ 1,∞= C ∞ 1 (Ω).f ′ (x) =f(x) := |x|{ −1,x < 0+1,x ≥ 0 ,f ∉ C ∞ 1 (Ω),C ∞ ∞‖·‖ 1,∞⊆ H∞1 (Ω).Die Elemente von H p m(Ω) sind als Elemente von L p (Ω) Äquivalenzklassen von meßbarenFunktionen. Etwas unpräzise sagt man, f ∈ H p m(Ω) sei stetig oder differenzierbar,falls die Äquivalenzklasse von f eine stetige oder differenzierbare Funktion enthält. DieÄquivalenzklasse von f enthält höchstens eine stetige oder differenzierbare Funktion.Alle anderen Funktionen aus dieser Äquivalenzklasse unterscheiden sich dann von derstetigen Funktion nur auf einer Menge vom Maß Null. Zwar ist H p m(Ω) eine Teilmengevon L p (Ω) , aber natürlich braucht nicht jedes Element f von H p m(Ω) stetig oder gardifferenzierbar zu sein. Man kann aber beweisen, daß f stetig oder differenzierbar ist,falls m genügend groß ist (Sobolevscher Einbettungssatz).Bei der Lösung von Randwertproblemen für partielle Differentialgleichungen möchteman haben, daß die Lösung, die man häufig in Sobolevräumen sucht, gewisse Werte aufdem Rand annimmt. Wenn der Rand einer offenen Menge Ω glatt ist, ist er eine Nullmenge,und somit ist nicht klar, was die Randwerte einer “Funktion” (Äquivalenzklasse)u ∈ H p m(Ω) sein sollen. Man kann aber unter gewissen Voraussetzungen an ∂Ω solcheRandwerte definieren. Das folgende ist eine besonders elegante Definition von Funktionenin Sobolevräumen, die “im verallgemeinerten Sinn” auf dem Rand ∂Ω verschwinden.Definition 2.9 (Sobolevräume ◦ H p m(Ω)) Für 1 ≤ p < ∞ und m ∈ N 0 sei◦H p m(Ω) =C∞(Ω)◦ Hm(Ω)p= {f ∈ H p m(Ω) | Es gibt eine Folge {ϕ l } ∞ l=1 ⊆ ◦ C∞(Ω)mit ‖f − ϕ l ‖ p,m,Ω → 0 für l → ∞.}◦H p m(Ω) ist ein abgeschlossener Unterraum des Banachraumes H p m(Ω) , also selbst ein Banachraum.Für p = 2 insbesondere ist ◦ H 2 m(Ω) = ◦ Hm(Ω) ein abgeschlossener Unterraum24