Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

also, für y,z ∈ Y|f(y) − f(z)| = |f(y − z)| ≤ ‖y − z‖ ,d.h. f ist gleichmäßig stetig auf Y , und kann somit zu einer stetigen Abbildung g aufY = Ĥ fortgesetzt werden. g ist automatisch auch linear, also g ∈ Ĥ′ mit ‖g‖ ≤ 1 ,und folglich existiert nach dem Rieszschen Darstellungssatz ein eindeutiges x ∈ Ĥ mitf(z) = (z,x) für alle z ∈ Ĥ und mit ‖x‖ = ‖g‖ ≤ 1 , also x ∈ B 1(0) ∩Ĥ . Sei nun z ∈ Ĥbeliebig und ε > 0 . Wähle y ∈ Y mit ‖z − y‖ < ε/3 . Es folgt|(z,x) − (z,x nk )| ≤ |(z,x) − (y,x)| + |(y,x) − (y,x nk )| + |(y,x nk ) − (z,x nk )|≤‖z − y‖ ‖x‖ + |f(y) − (y,x nk )| + ‖y − z‖ ‖x nk ‖< ε/3 + ε/3 + ε/3 = εfür k ≥ k 0 , k 0 = k 0 (ε) geeignet. Also folgtlimk→∞ (z,x n k) = (z,x)für alle z ∈ Ĥ . Damit ist (∗) bewiesen, und es folgt x n k⇀ x .88