Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

4.2 HamiltonfunktionDefinition 4.5 Sei a < b,f : [a,b] × R × R → R. Dann heißt die Funktion H :[a,b] × R × R → [−∞, ∞]( )H(x,u,v) = sup vξ − f(x,u,ξ)ξ∈R ndie Hamiltonfunktion von f . H ist die Legendretransformierte von f(x,u,ξ) bezüglichder Variablen ξ .Satz 4.6 (Eigenschaften der Hamiltonfunktion) Sei f ∈ C 2 ([a,b] ×R×R) so daßdie Funktion ξ ↦→ f(x,u,ξ) strikt konvex ist für alle (x,u) ∈ [a,b] × R. Für (x,u) ∈[a,b] × R seiW(x,u) = { f ξ (x,u,ξ) : ξ ∈ R } ,W = { (x,u,v) : (x,u) ∈ [a,b] × R,v ∈ W(x,u) } ,und sei H die Hamiltonfunktion von f . Dann ist H ∈ C 1 (W, R), und die Funktionv ↦→ H(x,u,v) : W(x,u) → R ist konvex. Sei (u,v) ∈ C 2 ([a,b]) × C 1 ([a,b]) mit(x,u(x),v(x)) ∈ W für alle x ∈ [a,b] eine Lösung vonin [a,b]. Dann ist u eine Lösung der Eulergleichungu ′ (x) = H v(x,u(x),v(x)v ′ (x) = − H u(x,u(x),v(x)) (1)d[ (f ξ x,u(x),u ′ (x) )] (= f u x,u(x),u ′ (x) ) (2)dxin [a,b]. Wenn umgekehrt u ∈ C 2 ([a,b], R) eine Lösung von (2) ist, dann ist die Funktion(u,v) mitv(x) = f ξ(x,u(x),u ′ (x) )eine Lösung von (1). Gilt außerdemf(x,u,ξ)lim|ξ|→∞ |ξ|= ∞für alle (x,u) ∈ [a,b] × R, dann ist W(x,u) = R für alle (x,u) ∈ [a,b] × R und somitW = [a,b] × R × R.Beweis: Ich beweise den Satz nur unter der Voraussetzung, daß f ξξ (x,u,ξ) > 0 seifür alle (x,u,ξ) ∈ [a,b] × R × R. Diese Voraussetzung ist etwas stärker als die strikteKonvexität von ξ ↦→ f(x,u,ξ). Aus Lemma 4.4 (i) folgt, daß v ↦→ H(x,u,v) konvex ist.Nach Lemma 4.4 (v) ist ξ ↦→ f ξ (x,u,ξ) : R → W(x,u) injektiv. Sei v ↦→ g(x,u,v) :W(x,u) → R die Inverse. Dann giltv = f ξ(x,u,g(x,u,v)).62