Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

für x,y ∈ [a,b]\N ergibt sich also|u(x) − u(y)| = limk→∞|ψ k (x) − ψ k (y)|≤limk→∞|x − y| 1/2 ‖ψ k ‖ 2,1(a,b)= |x − y| 1/2 ‖u‖ 2,1(a,b)Folglich ist u gleichmäßig hölderstetig auf [a,b]\N , und kann damit in eindeutiger Weisezu einer hölderstetigen Funktion auf [a,b] fortgesetzt werden. Dies beweist (i). Wegenu ∈ H 2 1((a,b)) ⋂ C([a,b]) folgt aus (∗) für alle y ∈ [a,b] :Hiermit ist (ii) gezeigt.Zum Beweis von (iii) setzelim ψ k(y) = lim (ψ k ,χ y ) 1,(a,b) = (u,χ y ) 1,(a,b)k→∞ k→∞h k (x) = [ u(b) − ψ k (b) ] x − ab − a + [ u(a) − ψ k (a) ] b − xb − aDann gilt h k ∈ C ∞ ([a,b]),h k (b) = u(b) − ψ k (b),h k (a) = u(a) − ψ k (a), sowie‖h k ‖ 2,1(a,b) ≤ ∥ [ u(b) − ψ k (b) ] x − a∥b − a 2,1+ ∥ [ u(a) − ψ k (a) ] b − x∥b − a 2,1≤ |u(b) − ψ k (b)| ∥ x − a∥x − b 2,1+ |u(a) − ψ k (a)| ∥ b − x∥b − a 2,1→ 0für k → ∞, nach Aussage (i) des Lemmas. Für ϕ k = ψ k + h k ergibt sich folglichundϕ k ∈ C ∞((a,b))∩ C([a,b]),ϕk (b) = u(b),ϕ k (a) = u(a)‖u − ϕ k ‖ 2,1,(a,b) = ‖u − ψ k − h k ‖ 2,1≤ ‖u − ψ k ‖ 2,1 + ‖h k ‖ 2,1 → 0 für k → ∞.3.2.3 Der Fall f(x,u,ξ) = f(u,ξ) In diesem Fall lautet die Eulergleichungalsod [fξ (u,u ′ ) ] = f u (u,u ′ ),dxd[f ( u(x),u ′ (x) ) (− u ′ (x)f ξ u(x),u ′ (x) )] = f u u ′ + f ξ u ′′ − u ′′ f ξ − u ′ ddxdx f ξ( d [= −u ′ fξ (u,u ′ ) ] − f u (u,u ))′ = 0.dx48