Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Lemma 6.6 Sei H ein Hilbertraum, sei f 1 : H → (−∞, ∞] koerzitiv. Sei f 2 : H →(−∞, ∞] und sei g : H → R eine stetige, reell lineare Abbildung mitfür alle x ∈ H . Dann ist f 1 + f 2 koerzitiv.Beweis: Es gibt c 1 > 0 und c 2 ∈ R mitwobeif 2 (x) ≥ g(x) − Cf 1 (x) + f 2 (x) ≥ c 1 ‖x‖ 2 − c 2 + g(x) − C( x)= c 1 ‖x‖ 2 + ‖x‖g − C − c 2‖x‖≥ c 1 ‖x‖ 2 − ‖x‖ sup |g(y)| − C − c 2‖y‖≤1≥ c 12 ‖x‖2 + C 1 − C − c 2 ,( c1)C 1 = minx∈H 2 ‖x‖2 − ‖x‖ sup |g(y)| = − 1 (‖y‖≤1 2c 1Folglich ist f 1 + f 2 koerzitiv.sup‖y‖≤1|g(y)|) 2.Satz 6.7 (Existenz eines Minimums bei konvexen Funktionalen) Sei f : H →(−∞, ∞] eine konvexe, von unten halbstetige, koerzitive Funktion. Dann gibt es einx 0 ∈ H mitf(x 0 ) = minx∈H f(x).Wenn f strikt konvex ist, ist das Minimum eindeutig.Beweis: Wenn f ≡ ∞ gilt, ist die Behauptung richtig. Also seiinf f(x) = a < ∞.x∈HWegen der Koerzitivität gilt für alle x ∈ H mit ‖x‖ 2 ≥ r = a+1+c 2c 1(∗) f(x) ≥ c 1 ‖x‖ 2 − c 2 ≥ a + 1 + c 2 − c 2 = a + 1.Wähle nun eine Folge {x n } ∞ n=1 ⊆ H mitWenn (∗) existiert eine Zahl n 0 mitlim f(x n) = a = inf f(x).n→∞ x∈H‖x n ‖ ≤ r ,, daßalsox n ∈ B r (0) = { x ∈ H ∣ ∣ ‖x‖ ≤ r}91