Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Hiermit folgtd[ ( ) ]S γ x,u(x),γ = S xγ + S uγ u ′dx( )= S xγ + H v x,u(x),v(x) Suγalso folgt( )= S xγ + H v(x,u(x),S ) u x,u(x),γ S uγ= d ( ) ( ) [S x x,u(x),γ + H(x,u(x),S )]u x,u(x),γdγ= 0,S γ(x,u(x),γ)= constfür alle x ∈ [a,b].( )Sei umgekehrt S γ x,u(x),γ = c für x ∈ [a,b]. Es folgt dannS xγ + S uγ u ′ = d [ ( ) ]S γ x,u(x),γ = 0.dxAußerdem folgtS xγ + H v S uγ = ddγ[S x(u,u(x),γ)+ H(x,u,S u(x,u(x),γ) )] = 0.Durch Kombination beider Gleichungen folgt( ( ) [H ) ] ( )v x,u(x),S u x,u(x),γ − u ′ (x) S uγ x,u(x),γ = 0.Wegen v = S u und wegen S uγ ≠ 0 folgtu ′ (x) = H v(x,u(x),v(x)).Außerdem folgtv ′ (x) =d ( ) [S ]u x,u(x),γdx= S xu + S uu u ′Also ist (u,v) eine Lösung von (H) .= S xu + S uu H v= [ S x + H(x,u,S u ) ] u − H u= − H u(x,u(x),S u(x,u(x),γ) )= − H u(x,u(x),v(x)).Dieser Satz erlaubt aus der Lösung der Hamilton–Jacobi Gleichung die Lösung des HamiltonschenDifferentialgleichungssystems zu bestimmen. Es bleibt aber die Frage offen,ob überhaupt eine Lösung der Hamilton–Jacobi Gleichung existiert. Dies ergibt sich ausfolgendem Satz:73