Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

für alle ϕ ∈ ◦ C∞(Ω) . Da a(∇u) ∈ L 2 (Ω) ist, bedeutet dies nach Definition 7.9,daß div (a(∇u)) existiert, und daß w = −div (a(∇u)) . Dies impliziert ∂Ṽ (u) ={−div (a(∇u))} , und (∗) nimmt die Form(a(∇u), ∇v − ∇u) Ω ≥ −(div a(∇u), v − u) Ωan. Nach Definition 7.10 ist daher u ∈ D(A) und ∂Ṽ (u) = {Au} . Sei umgekehrt u ∈D(A) . Nach Definition 7.10 bedeutet dies u ∈ M(b) undfür alle v ∈ M(b) . Satz 7.7 zeigt nun, daßalso ist ∂Ṽ (u) ≠ ∅ . Zusammen folgt(a(∇u), ∇v − ∇u) Ω ≥ −(div a(∇u), v − u) Ω−div a(∇u) ∈ ∂Ṽ (u) ,∂Ṽ (u) ={{Au} , u ∈ D(A)∅ , u ∈ L 2 (Ω)\D(A) .Aus diesem Ergebnis folgt, daß u ∈ D(A) und Au + λu = f äquivalent ist zu f − λu ∈∂Ṽ (u) . Nach Satz 7.7 ist dies aber äquivalent zu (ii). Also ist (i) äquivalent zu (ii). DieÄquivalenz von (ii) und (iii) wurde schon in Folgerung 7.8 bewiesen. Die Existenz vonu ergibt sich aus Satz 7.2.112