Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Beweis: Sei a < y < b. Seiχ y (x) ={α1 sinh(x) + β 1 cosh(x), a ≤ x < yα 2 sinh(x) + β 2 cosh(x), y < x ≤ b,wobei die Koeffizienten α 1 ,β 1 ,α 2 ,β 2 so bestimmt werden, daßχ ′ y(a) = 0, χ ′ y(b) = 0, χ y (y−) = χ y (y+), χ ′ y(y−) − χ ′ y(y+) = 1.Dies führt auf ein lineares Gleichungssystem für α 1 , ... ,β 2 , das immer lösbar ist. Fürx ≠ y gilt dann auch χ ′′y(x) = χ y (x).Für y = a setzeχ a (x) = α sinh(x) + β cosh(x)mit−χ ′ a(a) = 1, χ ′ a(b) = 0und entsprechend für y = b.Für v ∈ H 2 1((0, 1)) ∩ C([0, 1]) ergibt sich nunund somit(v,χ y ) 1,(a,b)= (v,χ y ) (a,b) + (v ′ ,χ ′ y) (a,b)= (v,χ y ) (a,y) + (v ′ ,χ ′ y) (a,y)+ (v,χ y ) (y,b) + (v ′ ,χ ′ y) (y,b)= (v,χ y ) (a,y) − (v,χ ′′ ) (a,y) + (v,χ y ) (y,b) − (v,χ ′′y) (y,b)+ v(y)χ ′ y(y) − v(a)χ ′ y(a) + v(b)χ ′ y(b) − v(y)χ ′ y(y+)= v(y) [ χ ′ y(y−) − χ ′ y(y+) ] = v(y),|ψ k (y) − ψ l (y)| = |(ψ k ,χ y ) 1,(a,b) − (ψ l ,χ y ) 1,(a,b) |= |ψ k − ψ l ,χ y ) 1,(a,b) |≤→‖ψ k − ψ l ‖ 2,1,(a,b) ‖χ y ‖ 2,1,(a,b)0 für k,l → ∞Also ist {ψ k (y)} ∞ k=1eine Cauchyfolge und somit konvergent in K. Da es eine NullmengeN und eine Teilfolge {ψ kl } ∞ l=1gibt mitfür alle y ∈ [a,b]\N , gilt für diese y sogarliml→∞ ψ k l(y) = u(y)lim ψ k(y) = u(y).k→∞Aus der Hölderschen Ungleichung folgt für alle x,y ∈ [a,b]|ψ k (x) − ψ k (y)| = |≤∫ yxψ ′ k(z)dz||x − y| 1/2( ∫ y|ψ k(z)| ′ 2 dz ) 1/2≤ |x − y| 1/2 ‖ψ k ‖ 2,1,(a,b) ;x(∗)47