Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Beweis: Wie im Beweis zu Satz ?? folgt, daß für u,v ∈ M ∗ ,t ∈ (0, 1] und x ∈ ∂Ωmonoton fallend ist für t ց 0. Also ist1[j ( tBv(x) + (1 − t)Bu(x) ) − j ( Bu(x) )]tx ↦→ 1 t[j ( tBv(x) + (1 − t)Bu(x) ) − j ( Bu(x) )]eine für t ց 0 monoton fallende Folge über ∂Ω integrierbarer Funktionen.Sei nun u ∈ L 2 (Ω) und ω ∈ ∂Ṽ (u). Dies bedeutet, daß(∗)Ṽ ( tv + (1 − t)u ) ≥( ω,tv + (1 − t)u − u) Ω + Ṽ (u)= t(ω,v − u) Ω + Ṽ (u)gilt für alle v ∈ L 2 (Ω) und t ∈ [0, 1]. Da ψ ∈ C ∞ (Ω) ist und da Ω beschränkt ist, istsup x∈Ω |ψ(x)| < ∞, also ist ψ ∈ M ∗ und Ṽ (ψ) < ∞ nach Definition von M ∗ und vonṼ . Setzt man also t = 1 und v = ψ in (∗), so folgt, daß auch Ṽ (u) < ∞ sein muß, alsodaß u ∈ M ∗ gelten muß.Aus (∗) und aus dem Satz von Beppo Levi folgt nun für alle v ∈ M ∗1 ( )(ω,v − u) Ω ≤ lim[Ṽ tv + (1 − t)u − Ṽ (u)]tց0 t[ ∫ 1 (= lim |t∇v + (1 − t)∇u| 2 − |∇u| 2) dxtց0Ω 2t∫1(+ j ( tBv + (1 − t)Bu ) ) ]− j(Bu) dS∂Ω t∫ ( t= limΩ t→0 2 |∇v|2 + (1 − t)∇v · ∇u + 1 )2 (t − 2)|∇u|2 dx∫1[+ lim j ( tBv + (1 − t)Bu ) ]− j(Bu) dS∂Ω tց0 t∫∫d= ∇u · (∇v − ∇u)dx +Ω∂Ω dt j( tBv + (1 − t)Bu ) dS |t=0∫∫= ∇u · (∇v − ∇u)dx + j ′( Bu(x) )( Bv(x) − Bu(x) ) dS x .ΩAußerdem ergibt der Satz von Beppo Levi, daß∫∣∣j ′( Bu(x) )( Bv(x) − Bu(x) )∣ ∣dS x∂Ωexistiert. Wenn umgekehrt u ∈ M ∗ ist, dieses Integral für alle v ∈ M ∗ exitiert und dieim Satz behauptete Variationsungleichung erfüllt ist, dann folgt für alle v ∈ M ∗∫∫(ω,v − u) Ω ≤ ∇u · (∇v − ∇u)dx + j ′ (Bu)(Bv − Bu)dSΩ∂Ω∂Ω116