Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

also(∗)sup |f k (x) − f l (x)| ≤ 1x∈M\Nn , sup |f k (x)| ≤ Cx∈M\Nfür alle n ∈ N und alle k,l ≥ k 0 (n) , mitN(n) = ⋃ {N(l,k)∣ ∣ l,k ≥ k 0 (n) }N =∞⋃N(n).n=1{ N ist eine Nullmenge als abzählbare Vereinigung von Nullmengen. Also ist insbesonderefk (x) } ∞eine Cauchyfolge in K für alle x ∈ M\N . Da K vollständig ist, hat diesek=1Folge einen Grenzwert f(x) , und es gilt für alle x ∈ M\N|f(x)|= |f(x) − f k (x) + f k (x)|= limk→∞|f(x) − f k (x) + f k (x)|≤lim |f(x) − f k (x)| + lim |f k (x)| ≤ lim C = C ,k→∞} {{ } k→∞ k→∞=0wegen (∗). Definiert man F auf N durchf(x) = 0, x ∈ N ,dann ist also f beschränkt und meßbar, also f ∈ L ∞ (m,µ, K) . Weiter folgt aus (∗) füralle x ∈ M\Nfür alle k ≥ k 0 , also|f(x) − f k (x)| = liml→∞|f(x) − f l (x) + f l (x) − f k (x)|≤≤‖f − f k ‖ ∞ ≤lim |f(x) − f l (x)| + lim |f l (x) − f k (x)|l→∞ l→∞1lim |f l (x) − f k (x)| ≤ liml→∞ l→∞ n = 1 n ,sup |f(x) − f k (x)| ≤ 1x∈M\Nn ,k ≥ k 0 . Hieraus folgt lim k→∞ f k = f in L ∞ (M,µ, K) , also ist dieser Raum vollständig.Lemma 2.3 (Höldersche Ungleichung) Seien p,q ∈ [1, ∞] mit 1 + 1 p qf ∈ L p (M) und g ∈ L q (M), dann ist fg ∈ L 1 (M) und= 1. Ist dann‖fg‖ 1 ≤ ‖f‖ p ‖g‖ q .17