Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Beweis von Lemma 8.4. (Durch Widerspruch.) Angenommen, die Behauptung seifalsch. Dann existierte eine Folge {u m } ∞ m=1 ⊆ H 1 (Ω) mit ‖u m ‖ 0,Ω = 1 und mit‖u m ‖ 2 2,0,∂Ω + |u m | 2 1,Ω → 0für m → ∞. Somit ist {u m } ∞ m=1 eine beschränkte Folge im Hilbertraum H 1 (Ω) und hatdamit nach Satz ?? eine in L 2 (Ω) konvergente Teilfolge {u ′ m} ∞ m=1 . Wegen |u ′ m| 1,Ω → 0ist diese Teilfolge sogar in H 1 (Ω)konvergent mit Grenzwert u ∈ H 1 (Ω). Wegen∣∣‖u‖ 0,Ω − ‖u ′ m‖ 0,Ω∣ ∣ ≤ ‖u − u ′ m‖ 0,Ω ≤ ‖u − u ′ m‖ 1,Ω → 0,∣∣|u| 1,Ω − |u ′ m| 1,Ω∣ ∣ ≤ |u − u ′ m| 1,Ω ≤ ‖u − u ′ m| 1,Ω → 0und ∣ ∣ ‖u‖ 2,0,∂Ω − ‖u ′ m‖ 2,0,∂Ω∣ ∣ ≤ ‖u − u ′ m‖ 2,0∂Ω ≤ C‖u − u ′ m‖ 1,Ω → 0für m → ∞ folgt(∗) ‖u‖ 0,Ω = 1, |u| 1,Ω = 0 und Bu = 0.Nach Satz ?? ist dann u ∈ ◦ H1 (Ω). Die Poincarésche Ungleichung (Satz 2.19) liefertfolglich‖u‖ 0,Ω ≤ C|u| 1,Ω = 0,im Widerspruch zu (∗), also muß die ursprüngliche Annahme falsch gewesen sein.Folgerung 8.5 Sei Ω ⊆ R n eine offene und beschränkte Menge mit Lipschitzrand. Seij : R → R eine stetig differenzierbare, konvexe und strikt koerzitive Funktion mit j(0) =0. Sei f ∈ L 2 (Ω). Dann sind äuqivalent:a.) u ∈ M ∗ , für alle v ∈ M ∗ gilt∫∣∣j ′( Bu(x) )( Bv(x) − Bu(x) )∣ ∣dS < ∞,und es ist∫Ω∂Ω[∇u(x) · (∇v(x)− ∇u(x) )−f(x) ( v(x) − u(x) )] dz+ ∫ ∂Ω j′( Bu(x) )( Bv(x)−Bu(x) ) dSfür alle v ∈ M ∗ .≥ 0118