Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

also ‖x‖ 2 ≤ lim infn→∞ ‖x n‖ 2 .(ii) Es giltfolglichd.h. x n → x .lim sup ‖x − x n ‖ 2n→∞= lim sup ‖x n ‖ 2 − 2 lim (x n ,x) + ‖x‖ 2n→∞n→∞= lim sup ‖x n ‖ 2 − ‖x‖ 2 ≤ 0 ,n→∞0 ≤ lim ‖x − x n ‖ 2 ≤ lim sup ‖x − x n ‖ 2 ≤ 0 ,n→∞Satz 5.13 (Abschluß konvexer Mengen in der schwachen und in der Normtopologie)Sei H ein Hilbertraum, und sei M eine konvexe Teilmenge. Dann stimmender Abschluß von M in der Normtopologie und in der schwachen Topologie überein.Beweis. Sei M ‖·‖ der Abschluß von M in der Normtopologie, und sei M W der Abschlußvon M in der schwachen Topologie. Da die Normtopologie feiner ist als die schwacheTopologie, ist auch M W in der Normtopologie abgeschlossen, alson→∞M ‖·‖ ⊆ M W .Nach Folgerung 5.10 ist jede in der Normtopologie abgeschlossene konvexe Menge derDurchschnitt von (in der Normtopologie) abgeschlossenen Halbräumen.Also ist M ‖·‖ der Durchschnitt von abgeschlossenen Halbräumen, da mit M auch M ‖·‖konvex ist.Es wird nun gezeigt, daß diese Halbräume auch in der schwachen Topologie abgeschlossensind. Wenn dies gezeigt ist, folgt, daß M ‖·‖ der Durchschnitt von in der schwachenTopologie abgeschlossenen Mengen ist, also ist M ‖·‖ selbst schwach abgeschlossen, somitfolgtM W ⊆ M ‖·‖ ,zusammen also M W = M ‖·‖ .Jeder abgeschlossene Halbraum ist nach Definition von der Form{x ∈ H | f(x) ≤ α}mit einer geeigneten stetigen, reell linearen Abbildung f : H → R und mit geeignetemα ∈ R .Ein solches f ist aber auch in der schwachen Topologie stetig, also ist der Halbraumauch in der schwachen Topologie abgeschlossen als Urbild einer abgeschlossenen Mengeunter einer stetigen Abbildung.Um zu zeigen, daß f schwach stetig ist, sei K = C , weil sonst nichts zu zeigen ist.Dann ist die Abbildung g : H → C ,g(x) = f(x) − if(ix)84