Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Man kann diese Gleichungen folgendermaßen interpretieren: Da |v| < n ist, gibt esϕ(x) ∈ ( − π 2 , π 2)mitv(x) = n ( x,u(x) ) sin ϕ(x).Dies bedeutet, daß v(x) die zweiteKomponente eines Vektors V (x) ∈ R 2mit |V (x)| = n(x,u(x)) ist:Es gilt nunn ( x,u(x) )√n ( x,u(x) ) 2− v(x)2V (x) = n ( x,u(x) )( cos ϕ(x), sin ϕ(x) ) .===n ( x,u(x) )√n ( x,u(x) ) 2 ( ) 2− n x,u(x) sin 2 ϕ(x)1√1 − sin 2 ϕ(x)1cos ϕ(x) ,also kann die zweite der Hamiltonschen Differentialgleichungen in der Formv ′ 1(x) =cos ϕ(x) n ( )u x,u(x) ,✻ ✒ V (x) .ϕodercos ϕ(x) ddx v(x) = n ( )u x,u(x)geschrieben werden. Da v nicht von u abhängt, kann man dies auch schreiben alsV|V | · ∇ (x,u)v(x) = cosϕ(x) ddv(x) + sin ϕ(x)dx du v(x) = n ( )u x,u(x) .Da V|V | · ∇ (x,u) die Ableitung in Richtung des Vektors V ist, sagt diese Gleichung, daßdie Ableitung der zweiten Komponente des Vektors V (x) in Richtung von V (x) mit derAbleitung von n(x,u) in Richtung der zweiten Variablen übereinstimmt.Falls u bekannt ist, bestimmt somit die zweite Hamiltonsche Gleichung die Funktion vund damit auch V . “Bei der Bewegung entlang des Graphen von u trägt das Licht denVektor V mit sich.“Die erste Hamiltonsche Gleichung istu ′ (x) ==v(x)√n ( x,u(x) ) 2− v(x)2n sin ϕ(x)√n2 − n 2 sin 2 ϕ(x)sin ϕ(x)=cosϕ(x)= tanϕ(x)69