Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Beweis: Sei ϕ ∈ C∞(Ω) ◦ , sei x = (x 1 ,...,x n ) ∈ Ω , seiy = (y 1 ,x 2 ,...,x n ) ∈ ∂Ω . Dann folgtϕ(x) =∫ x1also, wegen der Hölderschen Ungleichung|ϕ(x)| p ≤ (≤≤Integration bezüglich x 1 ergibt∫ x1y 1|y 1|x 1 − y 1 | p q|x 1 − y 1 | p q∂∂x 1ϕ(ξ,x 2 ,...,x n )dξ ,∂ϕ(ξ,x 2 ,...,x n )|dξ) p∂x 1∫ x1|y 1∫ ∞−∞|α|=1∂∂x 1ϕ| p dξ∑|D α ϕ(ξ,x 2 ,...,x n )| p dξ .∫ y1 +dy 1|ϕ(x)| p dx 1 ≤ 11 + p qd 1+ p q∫ ∞∑|D α ϕ(ξ,x 2 ,...,x n )| p dξ .−∞|α|=1Nach Integration bezüglich der anderen Variablen ergibt sich∫|ϕ(x)| p dx ≤ 1 ∫∑p dp |D α ϕ(x)| p dxΩΩ|α|=1und somit‖ϕ‖ p,Ω ≤ p −1/p d |ϕ| p,1,Ω .Also ist die behauptete Ungleichung richtig für ϕ ∈ ◦ C∞(Ω) . Nun sei u ∈ ◦ H p 1(Ω) . Wähleeine Folge {ϕ k } ∞ k=1 ⊆ ◦ H p 1(Ω) mitDann folgtlim ‖u − ϕ k‖ p,1,Ω = 0 .k→∞‖u‖ p,Ω ≤ limk→∞(‖u − ϕ k ‖ p,Ω + ‖ϕ k ‖ p,Ω )≤≤lim ‖ϕ k ‖ p,Ω ≤ p −1/p d lim |ϕ| p,1,Ωk→∞ k→∞p −1/p d limk→∞(|ϕ − u| p,1,Ω + |u| p,1,Ω )= p −1/p d |u| p,1,Ω .35