Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

also ist M schwach beschränkt.Sei umgekehrt M schwach beschränkt. V ′ ist ein Banachraum, und jedes x ∈ Vdefiniert eine lineare stetige Abbildung J[x] ∈ V ′′ durch(J[x])(f) = f(x) mit ‖J[x]‖ V ′′ = ‖x‖ V .Wenn M schwach beschränkt ist, bedeutet dies für alle f ∈ V ′ , daßsup |(J[x])(f)| = sup |f(x)| < ∞ .x∈Mx∈MDie Menge {J[x] | x ∈ M} von stetigen linearen Abbildungen auf dem Banachraum V ′ist also punktweise beschränkt. Aus dem Satz von Banach-Steinhaus folgt somit, daßsup ‖x‖ V = sup ‖J[x]‖ V ′′ < ∞x∈M x∈Mgilt, also ist M normbeschränkte Teilmenge von V .Folgerung 5.17 Sei H ein Hilbertraum mit {x n } ∞ n=1 , {y n } ∞ n=1 ⊆ H . Es gelteDann gilt (x n ,y n ) → (x,y).x n → x ∈ H , y n ⇀ y ∈ H .Beweis: Es gilt (y n ,z) → (y,z) für alle z ∈ H , also gilt für alle z ∈ Hsup |(y n ,z)| < ∞ ,n∈Nfolglich ist {y n } ∞ n=1 schwach beschränkt, und somit auch beschränkt:für alle n ∈ N . Also ergibt sichfür n → ∞ .‖y n ‖ ≤ C|(x,y) − (x n ,y n )| = |(x,y) − (x n − x,y n ) − (x,y n )|≤ |(x,y) − (x,y n ) − (x n − x,y n )|≤ |(x,y) − (x,y n )| + ‖x n − x‖C → 0Satz 5.18 (Schwache Folgenkompaktheit der Einheitskugel) Sei H ein Hilbertraum.Dann ist die abgeschlossene Einheitskugel B 1 (0) = {x ∈ H | ‖x‖ ≤ 1} schwachfolgenkompakt.86