Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Beweis: Seien v 1 ,v 2 ∈ M(F,b) und t ∈ (0, 1) . Dann folgt∫F(∇(tv 1 (x) + (1 − t)v 2 (x)))dxΩ∫=Ω∫F(t∇v 1 (x) + (1 − t)∇v 2 (x))dx ≤= tV (v 1 ) + (1 − t)V (v 2 ) < ∞ .ΩtF(∇v 1 (x)) + (1 − t)F(∇v 2 (x))dxHieraus folgt zunächst, daß tv 1 + (1 − t)v 2 ∈ M(F,b) ist, also ist M(F,b) konvex. Dannaber folgt auch∫V (tv 1 + (1 − t)v 2 ) = F(∇(tv 1 (x) + (1 − t)v 2 (x)))dxΩ≤ tV 1 (v 1 ) + (1 − t)V (v 2 ) .Diese Ungleichung ist auch richtig, wenn wenigstens eine der Funktionen v 1 ,v 2 nicht inM(F,b) enthalten ist, weil dann die rechte Seite den Wert +∞ hat, also ist V konvex.Wenn F strikt koerzitiv ist, gibt es eine Konstante c > 0 mit F(ξ) ≥ c |ξ| 2 . Also folgt∫∫V (u) = F(∇u(x))dx ≥ c |∇u(x)| 2 dx = c |u| 2 1,Ω .ΩAlso bleibt zu zeigen, daß V von unten halbstetig ist. Hierzu muß bewiesen werden, daßfür {u m } ∞ m=1 ⊆ H 1 (Ω) und u ∈ H 1 (Ω) mit ‖u − u m ‖ 1,Ω → 0 giltΩV (u) ≤ lim infm→∞ V (u m) .Es genügt eine Folge {u m } ∞ m=1 mit lim inf V (u m) = α < ∞ zu betrachten, weil sonstm→∞nichts zu zeigen ist. Wähle eine Teilfolge {u ′ m} ∞ m=1 aus mitlim Vm→∞ (u′ m) = α .Nach Definition von V folgt hieraus u ′ m ∈ M(F,b) ⊆ M(b) für alle genügend großenm . Da {u ′ m} ∞ m=1 in der Norm von H 1 (Ω) gegen u konvergiert, und da M(b) in H 1 (Ω)abgeschlossen ist, folgt hierausu ∈ M(b) .Da ∫ | ∂Ω ∂x iu(x) −∂∂x iu ′ m(x)| 2 dx → 0 gilt für m → ∞ und für i = 1,...,n gibt esnach einem Satz aus der Lebesgueschen Integrationstheorie eine Teilfolge {u ′′ m} ∞ m=1 von{u ′ m} ∞ m=1 mitlimm→∞ ∇u′′ m(x) = ∇u(x)für fast alle x ∈ Ω . Nach Voraussetzung ist F : R n → R differenzierbar, also insbesonderestetig. Daher folgtlimm→∞ F(∇u′′ m(x)) = F(∇u(x))101