Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

=+≤=∫1 [lim |t∇v − (1 − t)∇u| 2 − |∇u| 2] dxΩ tց0 2t∫1[lim j ( tBv + (1 − t)Bu ) ]− j(Bu) dS∂Ω tց0 t∫ ( 12 |∇v|2 − 1 ) ∫( )2 |∇u|2 dx + j(Bv) − j(Bu) dSΩṼ (v) − Ṽ (u),∂Ωalsoweil aucht → 1 2tṼ (v) ≥ (ω,v − u) Ω + Ṽ (u),[|t∇v(x) − (1 − t)∇u(x)| 2 − |∇u(x)| 2]wegen der Konvexität vont ↦→ ∣ ∣t∇v(x) + (1 − t)∇u(x) ∣ ∣ 2monoton fallend ist für t ց 0. Diese Ungleichung gilt auch für alle v ∈ L 2 (Ω)\M ∗ weildann Ṽ (v) = ∞ ist, also ist ω ∈ ∂Ṽ (u). Damit ist der Satz bewiesen. Es bleibt zuzeigen, daß Ṽ koerzitiv ist.Lemma 8.3 Sei Ω ⊆ R n eine offene und beschränkte Menge mit Lipschitzrand. Seij : R → R stetig differenzierbar, konvex und strikt koerzitiv mit j(0) = 0. Dann ist Ṽkoerzitiv.Zum Beweis brauchen wir das folgende Ergebnis:Lemma 8.4 Sei Ω ⊆ R n eine offene und beschränkte Menge mit Lipschitzrand. Dannexistiert eine Konstante C > 0 mit‖u‖ 2 Ω ≤ C ( )‖u‖ 2 2,0,∂Ω + |u| 2 1,Ωfür alle u ∈ H 1 (Ω).Beweis von Lemma 8.3. Da j strikt koerzitiv ist, existiert eine Konstante c > 0 mitj(ξ) ≥ cξ 2 . Also folgt für u ∈ M ∗ aus Lemma 8.4Ṽ (u) = 1 ∫2 |u|2 1,Ω + j ( Bu(x) ) dS x∂Ω≥1 ∫2 |u|2 1,Ω + c |Bu(x)| 2 dS x∂Ω= 1 2 |u|2 1,Ω + c‖u‖ 2 2,0,∂Ω≥ 1 C min ( 12 ,c )‖u‖ 2 Ω .Wegen Ṽ (u) = ∞ für u ∈ L2 (Ω)\M ∗ ist also Ṽ koerzitiv.117