Variationsrechnung und SobolevrÃ¤ume - Fachbereich Mathematik ...

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4.3 Hamiltonsche Differentialgleichungen, kanonische Form der Eulergleichung 644.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4.1 Das Hamiltonsche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4.2 Das Fermatsche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4.3 Der Fall f(x,u,ξ) = f(ξ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4.4 Der Fall f(x,u,ξ) = f(x,ξ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4.5 Der Fall f(x,u,ξ) = f(u,ξ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.5 Die Hamilton-Jacobi Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.6 Geometrische Optik und Eikonalgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 755 Schwache Topologie von Banachräumen 785.1 Konvexe Mengen in Banachräumen, Trennungssatz . . . . . . . . . . . . 785.2 Schwache Topologie, schwache Konvergenz, schwache Folgenkompaktheit 826 Konvexe Funktionale 896.1 Unterhalbstetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.2 Existenz eines Minimums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.3 Subdifferentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.3.1 Beispiele für Subdifferentiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947 Direkte Methoden der Variationsrechnung 997.1 Konvexe Variationsfunktionale, Existenz eines Minimums . . . . . . . . . 997.2 Variationsungleichung zum Variationsfunktional . . . . . . . . . . . . . . 1067.3 Äquivalenz zwischen Randwertproblemen, Variationsgleichung und Variationsproblem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.3.1 Das Subdifferential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088 Existenztheorie für das Hindernisproblem bei nichtlinearer Randbedingung.1138.1 Das Potential beim Hindernisproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113ii
1 Einführung, Beispiele für Variationsprobleme, Inhalt der Vorlesung1.1 Das allgemeine Problem der Variationsrechnung Die Variationsrechnungist die mathematische Theorie, die sich mit der Lösung des folgenden Grundproblemsbefaßt:Seien n und N natürliche Zahlen, sei Ω ⊆ R n eine offene Menge und seieine stetige Funktion. Einer Funktionwerde die reelle Zahlzugeordnet. Hierbei seif : Ω × R N × R nN → Ru = (u 1 ,...,u N ) : Ω → R N∫I(u) =∇u(x) =⎛⎜⎝Ωf ( x,u(x), ∇u(x) ) dx∂u 1∂x 1(x) · · ·.∂u N∂x 1(x) · · ·∂u 1∂x n(x)∂u N∂x n(x)die N × n–Matrix der ersten Ableitungen von u , die ich auch als Gradient bezeichnenwerde. I ist also eine Funktion vom Raum der Funktionen u : Ω → R N in die reellenZahlen. Man bezeichnet I auch oft als Funktional. Gesucht ist nun eine Funktion u , fürdie das Funktional I seinen minimalen Wert annimmt, wobei man oft noch verlangt, daßu gewisse Nebenbedingungen erfüllt. Beispiele für solche Nebenbedingungen sind zumBeispiel, daß u zum Raum C 1 (Ω) gehören soll, oder daß u am Rand ∂Ω von Ω mit einervorgegebenen Funktion u 0 übereinstimmen soll.Man kann das Grundproblem der Variationsrechnung daher auch folgendermaßen formulieren:Sei D eine Menge von ”zulässigen” Funktionen v : Ω → R N . Gesucht ist eineFunktion u ∈ D mitI(u) = minv∈D I(v).u heißt Lösung des Variationsproblems.Ich möchte hier gleich auf die entscheidende Schwierigkeit aufmerksam machen. DieMenge{I(v) : v ∈ D}ist eine Teilmenge der reellen Zahlen. Das Variationsproblem ist lösbar, wenn diese Mengeein Minimum besitzt. Dazu muß sie nach unten beschränkt sein, also müssen dasFunktional I und damit insbesondere die Funktion f und auch die Menge D so vorgegebensein, daß das Infinuum infv∈D⎞⎟⎠I(v) existiert. Natürlich folgt hieraus noch nicht, daß dieBildmenge {I(v) : v ∈ D} auch ein Minimum besitzt, und die gesamte Variationsrechnungdreht sich im wesentlichen darum, zu zeigen, daß das Minimum existiert, und eine1
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Seite 6 und 7: oder mehrere Funktionen u : Ω →
Seite 8 und 9: ¨s(t) = d2 sdt 2 (t) = g cos β =
Seite 10 und 11: 1.2.4 Dirichletsches Integral Sei n
Seite 12 und 13: die Parametrisierung einer geschlos
Seite 14 und 15: Eine Möglichkeit, das Minimum eine
Seite 16 und 17: der Variationsrechnung und für die
Seite 18: alsoodersomit |(x,y)| 2 ≤ (x,x)(y
Seite 21 und 22: also(∗)sup |f k (x) − f l (x)|
Seite 23 und 24: Lemma 2.4 (Minkowski-Ungleichung) S
Seite 25 und 26: µ - fast überall. Da |f(x)−f l
Seite 27 und 28: Satz 2.7 (Vollständigkeit der Sobo
Seite 29 und 30: des Hilbertraumes H m (Ω) , also s
Seite 31 und 32: 2.3.1 Dirac-Familie Eine Familie {
Seite 33 und 34: Beweis: Sei E ⊆ Ω meßbar und be
Seite 35 und 36: für alle x mit dist(x, supp u) >
Seite 37 und 38: Wegen V i ⊆ U i ist dist(V i ,
Seite 39 und 40: Beweis: Sei ϕ ∈ C∞(Ω) ◦ , s
Seite 41 und 42: alsof(x) ≥ f(y) + ∇f(y) · (x
Seite 43 und 44: 0 = d dt I(u + tϕ) | t=0= d dt==
Seite 45 und 46: Teilmenge von [a,b], auf der sich u
Seite 47 und 48: für alle x ∈ [−1, 1]. Wenn u s
Seite 49 und 50: alsou ′ (x) = c x .Die allgemeine
Seite 51 und 52: Beweis: Sei a < y < b. Seiχ y (x)
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Also ist u ∈ C 2 ([a,b]) eine Lö
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3.2.5 Wirtingersche Ungleichung Sei
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Weiter muß gezeigt werden, daß {u
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= π 2 limk∑k→∞m,l=1= π 2 li
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nichtleere, konvexe und offene Meng
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Beweis: (i) Seien y,z ∈ R n und t
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Wäre nun y ≠ z , dann folgtef(z)
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Wegen f ξξ (x,u,g(x,u,v)) > 0 fol
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also0 = d dt J(w + tϕ) | t=0∫ b
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In kanonischer Form lauten die Eule
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Man kann diese Gleichungen folgende
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4.4.5 Der Fall f(x,u,ξ) = f(u,ξ)
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Hiermit folgtd[ ( ) ]S γ x,u(x),γ
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für alle (x,u) ∈ U . Ich werde z
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(x,u(x,α)) sind die von dieser Lin
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Zum Beweis des Satzes genügt es al
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Satz 5.9 (Trennungssatz) Sei H ein
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gelte lim n→∞ f(x n ) = f(x) f
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eine stetige, (komplex) lineare Abb
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Beweis: Sei {x n } ∞ n=1 ⊆ B 1
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6 Konvexe Funktionale6.1 Unterhalbs
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Lemma 6.6 Sei H ein Hilbertraum, se
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also istt(x,λ) + (1 − t)(y,µ) =
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) Sei H ein reeller Hilbertraum, se
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für alle x ∈ H . Dann nimmt f +g
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7 Direkte Methoden der Variationsre
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Beweis: Seien v 1 ,v 2 ∈ M(F,b) u
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für alle u ∈ M . Für alle ander
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folglichund somit∫ x1y 1|y 1|u(z)
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dem Satz von Beppo Levi1(w,v − u)
Seite 113 und 114:
weil man dann in (∗) v = u±ϕ se
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für alle ξ ∈ R n . Dann gilt∂
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8 Existenztheorie für das Hinderni
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für fast alle x ∈ ∂Ω. Wegen j
Seite 121 und 122:
=+≤=∫1 [lim |t∇v − (1 − t
Seite 123 und 124:
.) u ∈ M und∫ []1Ω 2 |∇u(x)|
Seite 125 und 126:
[19] A. Sommerfeld: Partielle Diffe
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