Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

also istt(x,λ) + (1 − t)(y,µ) = ( tx + (1 − t)y,tλ + (1 − t)µ ) ∈ K(f),und somit ist K(f) konvex.Um zu sehen, daß K(f) abgeschlossen ist, sei (x,λ) ∈ K(f) und{(x m ,λ m )} ∞ m=1 ⊆ K(f) eine Folge mit lim m→∞ (x m ,λ m ) = (x,λ). Da f von unten halbstetigist, folgtf(x) ≤lim infm→∞f(x m) ≤ lim infm→∞= limm→∞ λ m = λ ,also (x,λ) ∈ K(f) ; folglich ist K(f) abgeschlossen.Sei nun µ ∈ R mit µ < f(x 0 ). Dann ist (x 0 ,µ) /∈ K(f), also gibt es nach Satz 5.9 einestetige, reel lineare Abbildung G : H × K → R mit(∗) G ( (x 0 ,µ) ) > sup G ( (x,λ) ) .(x,λ)∈K(f)Definiere die Abbildung h : H → R durchh(x) = G ( (x, 0) ) .Dann ist h reell linear und stetig. Auch die Abbildung λ ↦→ G ( (0,λ) ) : K → R ist reelllinear und stetig, also gibt es ein ω ∈ K mitG ( (0,λ) ) = Re (λ,ω) K = Re (λω)für alle λ ∈ K. Zum Beweis beachte man, daß für jede stetige reell lineare Abbildung ugiltu = Reûmit einer stetigen linearen Abbildung û . Dies wurde im Beweis von Satz 5.13 gezeigt.Also gilt für alle (x,λ) ∈ H × Kλ mG ( (x,λ) ) = G ( (x, 0) ) + G ( (0,λ) ) = h(x) + Re (λω),und wegen µ ∈ R kann somit (∗) auch in der FormG ( (x 0 ,µ) ) [= h(x 0 ) + µ(Reω) > supx∈Hgeschrieben werden. Insbesondere folgt hieraussupλ≥f(x)(h(x) + λ(Reω)) ]G ( (x 0 ,µ) ) = h(x 0 ) + (Reω)µ > h(x 0 ) + (Reω) sup λ ,λ≥f(x 0 )was wegen f(x 0 ) < ∞ nur sein kann wenn (Reω) < 0. Außerdem folgtG ( (x 0 ,µ) ) > h(x) + f(x)(Reω)93