Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

folglichund somit∫ x1y 1|y 1|u(z)| 2 dz 1 ≤ (x 1 − y 1 ) 2 ∫ x1∫L(x ′ )∩Ω≤d 2 ∫ x1|u(z)| 2 dz ≤ d 2 ∫y 1|∇u(z)| 2 dz 1 + 2L(x ′ )∩Ω∂u(z)| 2 dz 1 + 2∂x 1∫ x1y 1b 2 dz|∇u(z)| 2 dz + 2b 2 ∫∫ x1y 1|u(y)| 2 dz 1L(x ′ )∩ΩDie behauptete Ungleichung ergibt sich aus dieser Ungleichung für u ∈ ˜M(b) durchIntegration bezüglich x ′ . Um diese Ungleichung für u ∈ M(b) zu beweisen, wähle maneine Folge {u m } ∞ m=1 ⊆ M 1 mit ‖u − u m ‖ 1,Ω → 0 . Dann folgt‖u‖ 2 Ω = limm→∞ ‖u m‖ 2 Ω ≤ limm→∞ (d2 |u m | 2 1,Ω + 2b 2 meas Ω)= d 2 |u| 2 1,Ω + 2b 2 meas Ω .Beweis von Satz 7.2 (i) Nach Folgerung 7.5 und Folgerung 6.9 ist für λ > 0v ↦→ Ṽ (v) + λ 2 ‖v‖2 Ω : L 2 (Ω) → L 2 (Ω)strikt konvex, von unten halbstetig und koerzitiv. Nach Lemma 6.6 gilt dies auch fürv ↦→ Ṽ (v) + λ 2 ‖v‖2 Ω − (f,v) Ω .Also besitzt Ṽ (v) + λ 2 ‖v‖2 Ω − (f,v) Ω nach Satz 6.7 ein eindeutiges Minimum u ∈ L 2 (Ω) .Wegen M(F,b) ≠ ∅ ist Ṽ (u) + λ 2 ‖u‖2 Ω − (f,u) Ω < ∞ , und somit u ∈ M(F,b) .(ii) Der Beweis folgt aus Lemma 7.6. Denn nach Satz 7.3 folgt ausu ∈ M(b) ⊆ H 1 (Ω)‖u‖ 2 Ω ≤ d 2 |u| 2 1,Ω + 2b 2 meas Ω ≤ d2c V (u) + 2b2 meas Ωmit d = sup x,y∈Ω |x − y| . Wegen Ṽ (u) = ∞ für u ∈ L2 (Ω)\M(b) folgt hierausṼ (u) ≥ c d 2 ‖u‖2 Ω − 2cb2d 2meas (Ω)für alle u ∈ L 2 (Ω) . Also ist Ṽ koerzitiv, und folglich ist Ṽ (v) − (f,v) koerzitiv, konvexund von unten halbstetig. Nach Satz 6.7 existiert also ein Minimum u von Ṽ (v) −(f,v) .Wie oben folgt, daß u ∈ M(F,b) .Im nächsten Schritt wird das Subdifferential von Ṽ bestimmt.dz .105