Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Satz 5.9 (Trennungssatz) Sei H ein Hilbertraum über K, sei M ⊆ H eine abgeschlossene,nichtleere, konvexe Teilmenge von H , und sei x ∈ H\M . Dann gibt es einestetige, reell lineare Abbildung f : H → R mitf(x) > sup f(z) .z∈MBeweis: Sei y = Proj M x . Dann ist f = H → R miteine reell lineare Abbildung mitf(z) = Re (x − y,z)|f(z)| ≤ |Re (x − y,z)| ≤ ‖x − y‖ ‖z‖ ,also ist f stetig. Außerdem gilt nach Lemma 5.5 für alle η ∈ Mund somitf(x) = Re (x − y,x) = (x − y,x − y) + Re (x − y,y)wegen x ∈ H\M , y ∈ M , also x ≠ y .= ‖x − y‖ 2 + Re [(y − x,η − y) + (x − y,η)]≥ ‖x − y‖ 2 + Re (x − y,η) = ‖x − y‖ 2 + f(η) ,sup f(η) ≤ f(x) − ‖x − y‖ 2 < f(x) ,η∈MFolgerung 5.10 Sei H ein Hilbertraum. Dann ist jede nichtleere abgeschlossene, konvexeTeilmenge M von H der Durchschnitt aller abgeschlossenen Halbräume, die dieseMenge enthalten.(Wenn f : H → R eine stetige, reell lineare Abbildung ist und α ∈ R, dann heißen dieabgeschlossenen Mengen{x ∈ H | f(x) ≥ α}undabgeschlossene Halbräume.){x ∈ H | f(x) ≤ α}Beweis: Sei x ∈ H\M . Nach Satz 5.9 gibt es α ∈ R und eine stetige, reell lineareAbbildung f : H → R mit sup z∈M f(z) ≤ α < f(x) , also ist x nicht Element desDurchschnitts aller abgeschlossenen Teilräume, die M enthalten.81