Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Satz 4.9 (Existenz von Lösungen der Hamilton–Jacobi Gleichung) MitBezeichnungen von Satz 5.7 sei H ∈ C 3 (W, R). Sei S 0 ∈ C 2 (R) eine Funktion mitdenv 0 (u) := S ′ 0(u) ∈ W(a,u)für alle u ∈ R. Dann gibt es eine in [a,b] × R relativ offene Teilmenge U von [a,b] × Rmit {a} × R ⊆ U und eine Lösung S ∈ C 2 (U, R) der Hamilton–Jacobischen DifferentialgleichungS x (x,u) + H ( )x,u,S u (x,u) = 0in U zur AnfangsbedingungS(a,u) = S 0 (u).Beweis: Aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen folgt, daß es einein [a,b] × R relativ offene Teilmenge U von [a,b] × R gibt mit {a} × R ⊆ U , die ineineindeutiger Weise von den Kurven x ↦→ (x,u, (x,α)) überdeckt wird, wobei u(x,α)die erste Komponente der Lösung (u,v) = (u(x,α),v(x,α)) von( )u ′ (x,α) = H v x,u(x,α),v(x,α)( ,) u(a,α) = αv ′ (x,α) = − H u x,u(x,α),v(x,α) , v(a,α) = v0 (α)ist. Hierbei seiu ′ (x,α) = ∂∂x u(x,α), v′ (x,α) = ∂∂x v(x,α).Es sei V ⊆ [a,b] × R die Menge alle (x,α) mit (x,u(x,α)) ∈ U . Wenn nötig durchVerkleinerung von U und V kann erreicht werden, daß U von der FormU = {(x,y) : a ≤ x < c(y)}ist mit a < c(y) ≤ b, und daß die Funktionaldeterminante der Abbildung (x,α) ↦→(x,u(x,α)) in V von Null verschieden ist:[ ( )]∂ x,u(x,α) det=∂(x,α) ∣ 1 0∂u ∂u ∣ = ∂u (x,α) > 0,∂α∂xwegen ∂u ∂α(a,α) = = 1,. Es existiert dann die Inverse (x,u) ↦→ (x,α(x,u)) : U → V∂α ∂αvon (x,α) ↦→ (x,u(x,α)), die dieselbe Differenzierbarkeitsordnung hat wie (x,α) ↦→u(x,α). Wegen H ∈ C 3 ist u(x,α) ∈ C 2 , also auch α(x,u). Ich definiere die Abbildungṽ : U → R durchṽ(x,u) = v ( x,α(x,u) ) .Sei nun S die Lösung von(∗) S x (x,u) = −H ( x,u, ṽ(x,u) ) , S(a,u) = S 0 (u),∂αin U , alsoS(x,u) = S 0 (u) −∫ x0H ( y,u, ṽ(y,u) ) dy74