Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

8 Existenztheorie für das Hindernisproblem bei nichtlinearerRandbedingung.8.1 Das Potential beim Hindernisproblem Wir werden nun die Lösbarkeit des inAbschnitt 1.2 betrachteten Hindernisproblems für die Membran studieren. Sei Ω ⊆ R neine offene beschränkte Menge mit Lipschitzrind ∂Ω und sei ψ ∈ C ∞ (Ω, R). Weiterhin seij : R → R eine stetige differenzierbare, konvexe, strikt koerzitive Funktion mit j(0) = 0.Aus diesen Voraussetzungen folgt j(ξ) ≥ 0 für alle ξ ∈ R. Schließlich seiM = { u ∈ H 1 (Ω) ∣ ∣u(x) ≥ ψ(x) fast überall in Ω } .M ist abgeschlossen in H 1 (Ω), und nach Satz ?? existieren die Randwerte u |∂Ω = Bufür alle u ∈ M . Sei{M ∗ = u ∈ M ∣ ∫j ( Bu(x) ) }dS x < ∞ .Wir definieren nun das Funktional Ṽ : L2 (Ω) → L 2 (Ω) durch{ ∫1Ṽ (u) = Ω 2 |∇u(x)|2 dx + ∫ j( Bu(x) ) dS∂Ω x < ∞, u ∈ M ∗+∞, u ∈ L 2 (Ω)\M ∗ .∂ΩṼ ist das Potential, das zum in 1.2 betrachteten Hindernisproblem gehört. Die Aufgabeist, zu zeigen, daß dieses Potential sein Minimum annimmt.Satz 8.1 Sei j stetig differenzierbar, konvex, strikt koerzitiv und erfülle j(0) = 0. Dannist M ∗ konvex, Ṽ ist konvex und von unten halbstetig und Ṽ|M ∗ ist strikt konvex.Beweis: Wie in Beispiel ?? sieht man, daß ω ↦→ 1 2 |ω|2 1Ω : H 1(Ω) → R strikt konvex ist.Also folgt für u,v ∈ M ∗ mit u ≠ v und für t ∈ (0, 1)1|tv + (1 − 2 t)u|2 1,Ω + ∫ j( tv + (1 − t)u ) dS∂Ω(∗) < 1 2 t|v2 1,Ω + 1 2 (1 − t)|u|2 1,Ω + ∫ ∂Ω tj( v(x) ) + (1 − t)j ( u(x) ) dS x= tṼ (u) + (1 − t)Ṽ (v) < ∞,weil j konkex ist. Außerdem gilttv(x) + (1 − t)u(x) ≥ tψ(x) + (1 − t)ψ(x) = ψ(x)für fast alle x ∈ Ω, also ist tv + (1 − t)u ∈ M ∗ , und somit ist diese Menge konvex. Aus(∗) folgt nun aberṼ ( tv + (1 − t)u ) < tṼ (u) + (1 − t)Ṽ (v)für alle u,v ∈ M ∗ mit u ≠ v und für alle t ∈ (0, 1), also ist Ṽ|M ∗ strikt konvex. Wennmindestens eine der Funktionen u,v ∈ L 2 (Ω)\M ∗ ist, dann gilt Ṽ ( tv + (1 − t)u ) ≤113