Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Satz 2.7 (Vollständigkeit der Sobolevräume) Die Räume H p m(Ω) sind vollständig,also ist jeder der Räume H p m(Ω) ein Banachraum, und H 2 m(Ω) ist ein Hilbertraum.Beweis: Sei { f l} ∞l=1 ⊆ Hp m(Ω) eine Cauchy-Folge. Zu jedem ε > 0 gibt es dann ein l 0mit‖f l − f k ‖ p,m,Ω < εfür alle l,k ≥ l 0 . Hieraus folgt für jeden Multiindex α mit |α| ≤ m‖D α f l − D α f k ‖ p,Ω ≤ ‖f l − f k ‖ p,m,Ω < ε ,also ist { D α f l} ∞l=1 eine Cauchy-Folge in Lp (Ω) . L p (Ω) ist vollständig. Sei f (α) ∈ L p (Ω)der Grenzwert von { D α f l} αl=1 . Dann folgt für jedes ϕ ∈ ◦ C∞(Ω)∫Ωf α (x)ϕ(x)dx =∫Ω[]L p − lim D α f l (x) ϕ(x)dxl→∞= lim Dl→∞∫Ωα f l (x)ϕ(x)dx= lim(−1) |α| f l (x)Dl→∞∫Ωα ϕ(x)dx∫ [ ]= (−1) |α| L p − lim f l (x) D α ϕ(x)dxΩ l→∞∫= (−1) |α| f(x)D α ϕ(x)dx.Also ist f α die α–te Ableitung von f,f α = D α f , somit ist f ∈ Hm(Ω) p . Schließlich giltlim ‖f − f l‖ p,m,Ω = ∑liml→∞ l→∞ ‖Dα f − D α f l ‖ p,m,Ω = 0,|α|≤md.h. { f l} ∞l=1 konvergiert in Hp m(Ω) gegen f . Also ist H p m(Ω) vollständig.Wir setzen für alle 1 ≤ p ≤ ∞ und m ∈ N 0 ∪ {∞}C p m(Ω) = {f : Ω → K |Ωf ist m–fach stetig differenzierbarmit D α f ∈ L p (Ω) für alleMultiindizes α mit |α| ≤ m .Satz 2.8 (Dichtheit von C p ∞(Ω) im Sobolevraum) Sei 1 ≤ p < ∞. Dann giltC p ∞(Ω) ‖·‖m,p = H p m(Ω).Das heißt, daß jedes f ∈ H p m(Ω) durch eine Folge { f l} ∞l=1 ⊆ Cp ∞(Ω) bezüglich der Norm‖ · ‖ p,m,Ω approximiert werden kann.⎫⎬⎭23