Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

.) u ∈ M und∫ []1Ω 2 |∇u(x)|2 − f(x)u(x) dx + ∫ )j( Bu(x) dS∂Ω{ ∫ []1= min v∈M Ω 2 |∇v(x)|2 − f(x)v(x) dx + ∫ j( Bv(x) ) }dS .∂ΩSchließlich gilt, daß es zu jedem f ∈ L 2 (Ω) ein eindeutiges u gibt, das diese beidenäquivalenten Eigenschaften hat.Beweis: Nach Satz 8.2 ist a.) äquivaltent zu f ∈ ∂Ṽ (u), und nach Lemma ?? ist diesäquivalent zu](∗)Ṽ (u) − (f,u) Ω = min[Ṽ (v) − (f,v)Ω .v∈L 2 (Ω)Nach Definition ist aber Ṽ (v) = ∞ für v ∈ L2 (Ω)\M ∗ ⊇ L 2 \M, also ist (∗) äquivalentzu u ∈ M und]Ṽ (u) − (f,u) Ω = min[Ṽ (v) − (f,v) .v∈MDies ist äquivalent zu b.) .Nach Satz 8.1 und Lemma 8.3 ist Ṽ konvex, von unten halbstetig und koerzitiv. Alsonimmt nach Lemma ?? und Satz ?? Ṽ (v)−(f,v) Ω das Minimum an in wenigstens einemu ∈ L 2 (Ω). Dieses u hat also die Eigenschaft b.) und damit auch a.) . Seien u und u ′ zweiElemente mit diesen Eigenschaften. Dann sind u,u ′ ∈ M ∗ , also sind u und u ′ Minimavon [Ṽ (v) −(f,v) Ω] v∈M ∗ . Nach Satz 8.1 und Lemma ?? ist dieses Funktional aber striktkonvex, also sind Minima nach Satz ?? eindeutig und somit gilt u = u ′ .Bemerkung 8.6 Das eindeutig bestimmte u aus Folgerung 8.5 ist die eindeutige Lösungdes Hindernisproblems aus Abschnitt 1.2 . Analog zum Vorgehen in Kapitel 6 und wie in1.2 skizziert kann ein Randwertproblem zur elliptischen partiellen Differentialgleichung−∆u = fgefunden werden, für das u Lösung ist. In 1.2 wurde schon gezeigt, daß u nur in den Bereichenvon Ω Lösung dieser Gleichung ist, wo es nicht auf dem Hindernis aufliegt. DieseBereiche hängen von der Lösung ab und sind daher zunächst nicht bekannt, müssenvielmehr gleichzeitig mit der Lösung mitbestimmt werden. Solche Probleme heißen freieRandwertprobleme. Mit solchen freien Randwertproblemen sind interessante Fragen verbunden.Zum Beispiel kann man untersuchen, ob der Rand der Menge, in der u auf demHindernis aufliegt, glatt oder sogar analytisch ist.119