Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Diese Gleichung bedeutet, daß der Tangentenvektor (1,u ′ (x)) an den Graphen von u imPunkt (x,u(x)) die Richtung des Vektors V (x) hat. Diese erste Hamiltonsche Gleichungerzwingt also, daß die Bewegung des Lichtes nicht unabhängig vom “mitgetragenen“Vektor V (x) ist, sondern daß sich das Licht in Richtung des Vektors V (x) bewegt.4.4.3 Der Fall f(x,u,ξ) = f(ξ) Die Eulergleichung ist in diesem Fallddx f ′ (u ′ ) = 0,also f ′ (u ′ (x)) = λ = const . Die Hamiltonfunktion H ist gegeben durchalsoHieraus folgt v(x) = µ = const undalsoH(x,u,v) = H(v) = f ∗ (v),u ′ = H v (v) = f ∗′ (v)v ′ = − H u (v) = 0.u ′ = f ∗′ (µ),u(x) = f ∗′ (µ)x + ν .4.4.4 Der Fall f(x,u,ξ) = f(x,ξ) In diesem Fall ist die EulergleichungalsoFür die Hamiltonfunktion giltddx f (ξ x,u ′ (x) ) = 0,f ξ(x,u ′ (x) ) = constH(x,u,v) = sup[vξ − f(x,ξ)] = H(x,v).ξ∈RAlso sind die Hamiltonschen Differentialgleichungenu ′ (x) = H v(x,v(x))also v(x) = µ undund somitv ′ (x) = − H u(x,v(x))= 0,u(x) =u ′ (x) = H v (x,µ),∫ xaH v (y,µ)dy + u(a).Das Hamiltonsche Differentialgleichungssystem heißt in diesem Fall vollständig integrabel.70