Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Dies ergibtalsosomit0 ≤ Re ( y − x, (η − x) + (x − y) ) = −‖x − y‖ 2 + Re (y − x,η − x) ,für alle η ∈ M . Also ist y = Proj M x .‖x − y‖ 2 ≤ Re (y − x,η − x) ≤ ‖x − y‖ ‖η − x‖ ,‖x − y‖ ≤ ‖η − x‖Folgerung 5.6 Sei H ein Hilbertraum und S ein abgeschlossener Unterraum vonH,S ≠ ∅. Dann gilt y = Proj S x, genau dann, wenn y ∈ S mit(x − y,z) = 0für alle z ∈ S . (In diesem Fall ist Proj S also die orthogonale Projektion auf S .)Beweis. Sei (x − y,z) = 0 für alle z ∈ H . Dann folgt für alle η ∈ SRe (y − x,η − x) = 0 ≥ 0 ,wegen η − y ∈ S , also y = Proj S x , nach Lemma 5.5. Sei umgekehrt y = Proj S x . AusLemma 5.5 folgt dannRe (y − x,z) ≥ 0für alle z ∈ S , alsoRe (λ(y − x,z)) = Re (y − x, λz) ≥ 0für alle λ ∈ K , somit (y − x,z) = 0 für z ∈ S .Definition 5.7 (Reell lineare Abbildungen) Sei V ein Vektorraum über K . EineAbbildung f : V → R heißt reell linear, wenn für alle x,x 1 ,x 2 ∈ V und alle λ ∈ R giltf(x 1 + x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 2 )f(λx) = λf(x) .Bemerkung 5.8 Sei V ein normierter Raum über K . Für eine reell lineare Abbildungf gilt genau wie für eine lineare Abbildung, daß sie stetig ist, genau dann, wenn siebeschränkt ist. D.h. die reell lineare Abbildung f : V → R ist stetig, genau dann, wenneine Konstante C ≥ 0 existiert mit|f(x)| ≤ C ‖x‖für alle x ∈ V . Denn V ist auch ein normierter Vektorraum über R , und für diesennormierten Vektorraum sind die reell linearen Abbildungen gerade die linearen Abbildungen.80