Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Lemma 2.4 (Minkowski-Ungleichung) Sei 1 ≤ p ≤ ∞. Sind f,g ∈ L p (M), dannauch f + g ∈ L p (M) und‖f + g‖ p ≤ ‖f‖ p + ‖g‖ p .Beweis: Für p = 1 und p = ∞ ist diese Ungleichung trivial. Sei nun 1 < p < ∞ . Dannfolgt(∗)|f(x) + g(x)| p= |f(x) + g(x)| |f(x) + g(x)| p−1≤|f(x)| |f(x) + g(x)| p−1 + |g| |f(x) + g(x)| p−1fast überall. Nach Voraussetzung sind f,g ∈ L p (M) , und |f + g| p−1 ∈ L q (M) mit1p + 1 q = 1 , wegen(|f + g|p−1 ) q= |f + g| q(p−1) = |f + g| p ≤ 2 p−1 |f| p + 2 p−1 |g| p ,also sind nach der Hölderschen Ungleichung|f| |f + g| p−1 , |g| |f + g| p−1 ∈ L 1 (M),und damit wegen (∗) auch |f + g| p . Dies bedeutet, daß|f + g| ∈ L p (M).Weiter folgt aus (∗) und aus der Hölderschen Ungleichung∫|f + g| p dµ ≤ ‖f‖ p ‖ |f + g| p−1 ‖ q + ‖g‖ p ‖ |f + g| p−1 ‖ q= ( ‖f‖ p + ‖g‖ p) ( ∫ (|f + g|p−1 ) qdµ) 1/q= ( ) ( ∫ ) 1−1‖f‖ p + ‖g‖ p |f + g| p pdµ .Wenn ∫ |f + g| p dµ = 0 ist, ist die Behauptung klar. Im anderen Fall ergibt sie sich ausder letzten Ungleichung durch Kürzen.Aus der Minkowskischen Ungleichung folgt nun, daß ‖ · ‖ p : L p (M,µ, K) → [0, ∞) eineNorm ist für 1 ≤ p ≤ ∞ , und daß also L p (M,µ, K) und auch l p normierte Räume sind.Aus der Hölderschen Ungleichung und aus f,g ∈ L 2 (M,µ, K) folgt (fg) ∈ L 1 (M,µ, K) .Für f,g ∈ L 2 (M,µ, K) existiert also das Integral∫(f,g) = f(x)g(x)dµ(x),und stellt, wie man sofort nachprüft, ein Skalarprodukt dar mitM‖f‖ 2 = (f,f) 1/2 .Also ist L 2 (M,µ, K) ein Prähilbertraum. Im nächsten Satz wird gezeigt, daß L p (M,µ, K)vollständig ist für alle p mit 1 ≤ p ≤ ∞ . Der Raum L p (M) ist also sogar ein Banachraumund L 2 (M) ist ein Hilbertraum.19