Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Weiter muß gezeigt werden, daß {u m } ∞ m=1 ein Orthonormalsystem ist. Es gilt(u k ,u m ) 1,(0,1) = (u ′ k,u ′ m) (0,1) + (u k ,u m ) (0,1){−(u′′k ,u m ) + (u k ,u m ) = [ (kπ) 2 + 1 ] (u k ,u m ) (0,1)=−(u k ,u ′′ m) + (u k ,u m ) = [ (mπ) 2 + 1 ] (u k ,u m ) [0,1) ,und somit [(kπ) 2 − (mπ) 2] (u k ,u m ) (0,1) = 0,was für k ≠ m nur sein kann wenn (u k ,u m ) (0,1) = 0 und somit auchFür k = m erhält man(u k ,u m ) 1,(0,1) = 0.(u m ,u m ) 1,(0,1) = [ (mπ) 2 + 1 ] (u m ,u m ) 0,1= [ (mπ) 2 + 1 ] 2(mπ) 2 + 1= 1.∫ 10sin(mπx) 2 dxAlso ist {u m } ∞ m=1 ein Orthonormalsystem. Es bleibt zu zeigen, daß dieses Orthonormalsystemvollständig ist.Es sei X der von {u m } ∞ m=1 aufgespannte Teilraum von H1((0, ◦ 1)), d.h. die Menge allerendlichen Linearkombinationen der u ′ ms. Es sei X der Abschluß von X . Bekanntlich gilt{ ∞}∑∞∑X = α m u m : α m u m konvergiert bezüglich der H1–Norm2 .m=1m=1Wenn für diesen abgeschlossenen Unterraum X = ◦ H1((0, 1)) gilt, dann ist {u m } ∞ m=1vollständig. Ich zeige, daß ◦ C∞((0, 1)) ⊆ X ist. Wegen ◦ C∞((0, 1)) = ◦ C1((0, 1)), folgtdann◦H1((0, 1))=◦C∞ ((0, 1)) ⊆ X ⊆ ◦ H1((0, 1)),und somit muß {u m } ∞ m=1 vollständig sein. Sei ϕ ∈ ◦ C∞(0, 1) und α m = (ϕ,u m ) 1,(0,1) . Esfolgt mit partieller Integrationα m = (ϕ,u m ) 1,(0,1) = (ϕ,u m ) (0,1) + (ϕ ′ ,u ′ m) (0,1)= (ϕ,u m ) (0,1) − (ϕ,u ′′ m) (0,1) = (ϕ,u m ) (0,1) + (πm) 2 (ϕ,u m ) (0,1)= ( 1 + (πm) 2)√ 2 (ϕ, sin(mπx)1 + (πm))(0,1)2√= 2 ( 1 + (πm) 2)( ϕ, sin(mπx) ) . (0,1)53