Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

2.3.1 Dirac-Familie Eine Familie {ϕ ε } ε>0⊆ L 1 (R n ) mit∫∫ϕ ε ≥ 0 , ϕ ε (x)dx = 1 , ϕ ε (x)dx → 0 für alle δ > 0R n R n \B δ (0)heißt Dirac-Familie.Als∫Beispiel für eine solche Familie nehme man ϕ ∈ L 1 (R n ) mit ϕ ≥ 0 und mitϕ(x)dx = 1 und setzeR n ( xϕ ε (x) = ε −n ϕ .ε)Satz 2.13 Sei 1 ≤ p < ∞, und sei {ϕ ε } ε>0eine Dirac-Familie. Dann gilt für allef ∈ L p (R n )limε→0 ‖ϕ ε ∗ f − f‖ p = 0 .Beweis: Wegen ∫ ϕR n ε (x)dx = 1 folgt∫(ϕ ε ∗ f)(x) − f(x) = ϕ ε (x − y) [f(y) − f(x)]dy .R nFür δ > 0 seiϕ εδ (x) ={ϕε (x) , |x| < δ0 , |x| ≥ δ, ψ εδ (x) ={0 , |x| < δϕ ε (x) , |x| ≥ δ.Dann folgt∫‖ϕ ε ∗ f − f‖ p = ‖ ϕ εδ (x − y) [f(y) − f(x)]dyR∫n+ ψ εδ (x − y) [f(y) − f(x)]dy‖ pR n≤ ‖ϕ εδ ‖ 1} {{ }≤ 1sup ‖f(· − h) − f‖ p|h|≤δ} {{ }→ 0, nach Lemma 4.3für δ → 0+ ‖ψ εδ ‖ 1} {{ }→ 0für ε → 0sup ‖f(· − h) − f‖ p .h∈R} n {{ }≤ 2‖f‖ pSatz 2.14 (Dichtheit von C∞(Ω) ◦ in L p (Ω)) Sei Ω ⊆ R n offen. Dann istdicht in L p (R n ) für 1 ≤ p < ∞.◦C∞(Ω)Beweis: Sei ψ ∈ ◦ C∞(R n ) mit ψ ≥ 0, ψ ≠ 0, ψ(x) = 0 für |x| ≥ 1 .(Beispiel:⎧ ( )⎨exp −ψ(x) =11 − |x| 2 , |x| < 1⎩0 , |x| ≥ 1 . )27