Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

für alle x mit dist(x, supp u) > δ 2 falls ε < δ 2 ist, also ist suppu ε beschränkt, und damitkompakt, und in Ω enthalten. Hieraus folgt die Behauptung.Die Approximation von beliebigem u ∈ H p m(Ω) auf Ω ist schwieriger und erfordert einigeVorbereitungen, denen wir uns jetzt zuwenden.2.3.3 Überdeckungen Sei Ω ⊆ R n . Eine Familie {U i } ∞ i=1 von Teilmengen U i von R nheißt Überdeckung von Ω , wenn∞⋃Ω ⊆ U i .i=1Wenn jedes U i offen ist heißt {U i } ∞ i=1 offene Überdeckung von Ω . Gibt es zu jedem x ∈ Ωeine Umgebung V von x in R n mit U i ∩ V ≠ ∅ für höchstens endlich viele i ∈ N , dannheißt {U i } ∞ i=1 lokalendliche Überdeckung von Ω .Sei Ω ⊆ R n offen. Wir benötigen im folgenden eine offene, lokalendliche Überdeckung{U i } ∞ i=1 von Ω mit U i beschränkt und mit U i ⊆ Ω für jedes i ∈ N .Eine solche Überdeckung kann man folgendermaßen konstruieren:Sei Ω 0 = ∅ und für i ∈ NΩ i = {x ∈ Ω∣ |x| < i , dist(x,∂Ω) > 1 i } .Dann ist Ω i offen und beschränkt,Ω i ⊆ Ω i+1 ⊆ Ω i+1 ⊆ Ω ,∞⋃Ω i = Ω .Setze U i = Ω i+1 \Ω i−1 . Dann ist U i offen und beschränkt,Ω ⊇∞⋃U i =i=1i=1i=2i=1U i ⊆ Ω i+1 ⊆ Ω ,∞⋃∞⋃∞⋃(Ω i+1 \Ω i−1 ) ⊇ (Ω i+1 \Ω i ) ∪ Ω 2 = Ω i = Ω .Schließlich ist {U i } ∞ i=1 lokalendlich, weil für m ≥ i + 2 giltU m ∩ U i = (Ω m+1 \Ω m−1 ) ∩ (Ω i+1 \Ω i−1 )⊆ (Ω m+1 \Ω m−1 ) ∩ Ω m−1 = ∅ .2.3.4 Zerlegung der Eins Sei Ω ⊆ R n offen und {U i } ∞ i=1 eine lokalendliche, offeneÜberdeckung von Ω . Eine Folge {η i } ∞ i=1 ⊆ C∞(R ◦ n ) heißt eine der Überdeckung {U i } ∞ i=1untergeordnete Zerlegung der Eins, wenn gilt∞∑η i ∈ C∞(U ◦ i ) , η i ≥ 0 , η i (x) = 1 für alle x ∈ Ω .i=1Beachte, daß zu jedem x ∈ R n in dieser Summe höchstens endlich viele Summanden vonNull verschieden sind.i=131