Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

weil man dann in (∗) v = u±ϕ setzen kann für jedes ϕ ∈ ◦ C∞(Ω) . Falls F(ξ) jedoch sehrschnell wächst für |ξ| → ∞ , kann M(F,b) eine kleine Menge sein, und es ist nicht klar,ob ◦ C∞(Ω) in −u+M(F,b) enthalten ist. Aus diesem Grunde und um weitere technischeSchwierigkeiten zu vermeinden, werde ich im folgenden voraussetzen, daß F : R n → Rstetig differenzierbar ist mitund mitF(0) = 0|a(ξ)| = | grad F(ξ)| ≤ c |ξ|für eine geeignete Konstante c > 0 . Es folgt dann aus dem Mittelwertsatz (oder aus derKonvexität von F ) und aus F(0) = 0 , daß|F(ξ)| ≤ | grad F(ξ ∗ ) · ξ + F(0)|≤ c |ξ| 2 + |F(0)| = c |ξ| 2und somit∫∫F(∇u(x))dx ≤ΩΩc |∇u(x)| 2 dx = c |u| 2 1,Ωgilt. Dies ergibt M(F,b) = M(b) = ˜M(b) H 1(Ω). Nach Definition von ˜M(b) ist zu allenu ∈ ˜M(b) und ϕ ∈ ◦ C∞(Ω) auch u + ϕ ∈ ˜M(b) und folglich ist u + ϕ ∈ M(b) für alleu ∈ M(b) . Es folgt◦C∞(Ω) ⊆ −u + M(F,b) = −u + M(b) ,also (−u + M(F,b)) ⊥ = {0} . Weiterhin folgt für alle u ∈ M(b)∫∫|a(∇u(x))| 2 dx ≤ c 2 |∇u(x)| 2 dx = c 2 |u| 2 1,Ω < ∞ ,ΩΩalso a(∇u(x)) ∈ L 2 (Ω, R n ) . Bevor ∂Ṽ (u) nun genau bestimmt werden kann, benötigtman folgende Definition.Definition 7.9 (Schwache Divergenz) Sei Ω ⊆ R n eine offene Menge und g ∈L 2 (Ω, R n ) . Wenn eine Funktion f ∈ L 2 (Ω, R) existiert mit(g, ∇ϕ) Ω = −(f,ϕ) Ωfür alle ϕ ∈ ◦ C∞(Ω) , dann wird f mit divg bezeichnet, und man sagt divg (die Divergenzvon g ) existiere im verallgemeinerten Sinn.Definition 7.10 (Schwache Definition von Differentialoperatoren mit Randbedingung)Sei Ω ⊆ R n eine offene Menge. Der im allgemeinen nichtlineare OperatorA : D(A) ⊆ L 2 (Ω) → L 2 (Ω) mit Definitionsbereich D(A) sei folgendermaßen definiert:Es sei D(A) die Menge aller u ∈ M(b) , für die div a(∇u) ∈ L 2 (Ω) existiert, und für die(a(∇u), ∇v − ∇u) Ω ≥ −(div a(∇u), v − u) Ω109