Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Dies hilft zunächst nicht weiter, da weder u(x) noch ϕ(x) bekannt sind, aber man kenntnun u als Funktion von ϕ. Mit χ(h) = 1 c 2 (cosh) 2 und ψ = ϕ −1 folgt somit wegenϕ −1 = u −1 ◦ χ, daßfolglichoderddh ψ(h) ==ddh (u−1 ◦ χ)(h) =1(u ′ u −1( χ(h) ))χ′ (h)−1tan[ϕ ( ϕ −1 (h) )] 2 c2(coshsin h)= − 2 c 2 cos h sin htanh= − 2 c 2 cos2 h ,ψ ′ (h) = − 2 1( )cos(2h) + 1 ,c 2 2x(h) = ϕ −1 (h) = ψ(h) = − 12c 2 sin(2h) − 1 c 2h + ku(h) = χ(h) = 1 c 2 cos2 h = 12c 2 cos(2h) + 12c 2und somit mit k ′ = − 1 c 2x(h) = 1 2 k′ sin(2h) + k ′ h + kw(h) = − u(h) = 1 2 k′ cos(2h) + 1 2 k′Dies ist die Parameterdarstellung einer Zykloide. Die beiden Konstanten k,k ′ müssenausx(h 0 ) = a, w(h 0 ) = α = 0x(h 1 ) = b, w(h 1 ) = β < 0bestimmt werden.w✻a❛b✲ xβ❛.Es folgt: Falls das Brachistochronenproblem eine zweimalig stetig differenzierbare Lösunghat, muß es eine Zykloide sein.50