Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Definition 7.1 (Strikte Koerzitivität) Sei f : R n → (−∞, ∞] . f heißt strikt koerzitiv,wenn eine Konstante c > 0 existiert mitfür alle x ∈ R n .f(x) ≥ c |x| 2In Zukunft werde ich immer voraussetzen, daß F : R n → R stetig differenzierbar, konvexund strikt koerzitiv ist. Insbesondere gilt dann F(ξ) ≥ 0 für alle ξ ∈ R n . Sei∫M(F,b) = {u ∈ M(b) | F(∇u(x))dx < ∞} .Es gilt M(F,b) ⊆ M(b) ⊆ H 1 (Ω), und wenn Ω beschränkt ist oder wenn F(0) = 0gilt, folgt ◦ C∞(Ω) ⊆ M(F,b) . Wenn jedoch Ω unbeschränkt ist und F(0) ≠ 0 gilt, kannM(F,b) = ∅ sein. Ich will diesen Fall ausschliessen und setze daher immer M(F,b) ≠ ∅voraus.ΩDie Funktionale V : H 1 (Ω) → (−∞, ∞] und Ṽ : L2 (Ω) → (−∞, ∞] seien definiert durch⎧ ∫⎨ F ( ∇u(x) ) dx, u ∈ M(F,b)V (u) = Ω⎩+∞, u ∈ H 1 (Ω)\M(F,b)⎧ ∫⎨ F ( ∇u(x) ) dx, u ∈ M(F,b)Ṽ (u) = Ω⎩+∞ , u ∈ L 2 (Ω)\M(F,b).Satz 7.2 (Existenz eines Minimums für Variationsfunktionale) Sei F : R n →R stetig differenzierbar, konvex, strikt koerzitiv und sei M(F,b) ≠ ∅.(i) Sei λ > 0. Dann gibt es zu jedem f ∈ L 2 (Ω) ein eindeutiges u ∈ M(F,b) mitṼ (u) + λ λ]2 ‖u‖2 Ω − (f,u) Ω = min[Ṽ (v) +v∈L 2 (Ω) 2 ‖v‖2 Ω − (f,v) Ω .(ii) Sei Ω ⊆ R n offen und beschränkt. Dann gibt es zu jedem f ∈ L 2 (Ω) ein u ∈ M(F,b)mit]Ṽ (u) − (f,u) Ω = min[Ṽ (v) − (f,v)Ω .v∈L 2 (Ω)Ich beweise diesen Satz in mehreren Schritten. Zunächst benötige ich folgendes grundlegendeResultat:Satz 7.3 (Konvexität und Unterhalbstetigkeit von Variationsfunktionalenauf H 1 (Ω)) Sei F : R n → R stetig differenzierbar, konvex und strikt koerzitiv. Dannist M(F,b) konvex, V ist konvex, von unten halbstetig, und es existiert eine Konstantec > 0 mitV (u) ≥ c |u| 2 1,Ωfür alle u ∈ H 1 (Ω).100