Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

oder mehrere Funktionen u : Ω → R N zu finden, für die dieses Minimum angenommenwird.Zahlreiche Probleme der reinen und angewandten Mathematik und ihren Anwendungenin Physik, Technik, Biologie, Chemie lassen sich auf diese Weise formulieren, undnatürlich ist die Variationsrechnung aus diesen Anwendungen heraus entstanden. Sie istein klassisches Teilgebiet der Mathematik.Ihre Ursprünge kann man bis zu Zenodor zurückverfolgen, der 200 Jahre vor Chr.lebte, und der das Problem der Isoperimetrischen Ungleichungen studierte. Fermat studiertedas Problem der Brechung von Lichtstrahlen und entdeckte 1662, daß der Weg desLichtes zwischen zwei Punkten derjenige Weg ist, den es in der kürzesten Zeit zurücklegt.Seither haben viele der besten Mathematiker sich mit Problemen der Variationsrechnungbeschäftigt. Der Name ”Variationsrechnung” für dieses Gebiet stammt von Euler (1707–1783). Seit dieser Zeit ist die Variationsrechnung ein sehr lebendiges und sich schnell entwickelndesTeilgebiet der Mathematik geblieben. Der Ursprung der Funktionalanalysisist mit der Variationsrechnung verknüpft, und heutzutage steht die Variationsrechnungim engsten Zusammenhang mit der Theorie der partiellen Differentialgleichungen undder Kontrolltheorie.1.2 Beispiele für Variationsprobleme Ich will nun eine Reihe von Beispielen fürVariationsprobleme angeben.1.2.1 Das Fermatsche Prinzip Ein Lichtstrahl verlaufe in der Ebene vom Punkt(a,α) zum Punkt (b,β) , wobei ich a < b voraussetze. Der vom Ort abhängige Brechungsindexdes Mediums, das der Lichtstrahl durchquert, sei n(x,y) . Der Lichtweg kann danndurch den Graphen einer Funktion u : [a,b] → R mit u(a) = α , u(b) = β beschrieben1werden. Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes im Punkt (x,y) ist, istn(x,y)die Zeit, die das Licht von (a,α) nach (b,β) braucht, gegeben durcht =∫ ban ( x,u(x) ) √1 + u′ (x) 2 dx.Unter allen möglichen Wegen von (a,α) nach (b,β) wählt das Licht nun einen solchen,für den diese Zeit minimal ist. Also gilt für den Lichtweg mitundf(x,u,ξ) = n(x,u) √ 1 + ξ 2 ,I(u) = ∫ ba f( x,u(x),u ′ (x) ) dxD = {u ∈ C 1 ([a,b], R) : v(a) = α , v(b) = β},daß u ∈ D undI(u) = min I(v).v∈DFalls die Lösung dieses Variationsproblems eindeutig ist, also falls es nur ein u ∈ D gibt,für das das Funktional I das Minimum annimmt, kann man durch Lösung des Variationsproblemsauch den Lichtweg bestimmen. Andererseits ist durchaus nicht sicher, ob das2