Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Teilmenge von [a,b], auf der sich u(x) und v(x) unterscheiden. Also folgt durch IntegrationI(w t ) =< t∫ ba∫ baf ( x,w t (x),w ′ t(x) ) dxf ( x,v(x),v ′ (x) ) dx + (1 − t)= tI(v) + (1 − t)I(u).Wäre nun I(v) ≤ I(u), dann folgte für alle t ∈ (0, 1)∫ bI(w t ) < tI(v) + (1 − t)I(u)≤tI(u) + (1 − t)I(u)= I(u).af ( x,u(x),u ′ (x) ) dxWegen w t → u für t → 0 gibt es aber ein t 0 > 0 mit w t ∈ U für alle 0 < t < t 0 . Für dieset muß somit I(w t ) ≥ I(u) gelten, im Widerspruch zur eben hergeleiteten Ungleichung.Also muß I(v) > I(u) gelten.3.2 Spezielle Variationsfunktionale, Beispiele3.2.1 Der Fall f(x,u,ξ) = f(ξ) In diesem Fall lautet die Eulergleichungd [f ′ (u ′ ) ] = 0,dxalso f ′( u ′ (x) ) = const. Eine Lösung des Randwertproblems (E) ist alsou(x) = β − α (x − a) + α ,b − aund wenn f konvex ist, folgt aus Satz 3.3 (ii), daß dieses u auch eine Lösung des VariationsproblemsI(u) = minv∈D I(v)ist mitI(v) =∫ baf ( v ′ (x) ) dx.Wenn f nicht konvex ist, braucht dieses u aber keine Lösung des Variationsproblems zusein. Dies zeigen die folgenden beiden Beispiele.a) Es seif(ξ) = e −ξ2undD ={v ∈ C 1([−1, 1]): v(−1) = v(1) = 0}.41