Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

3.2.5 Wirtingersche Ungleichung Sei λ ≥ 0 und seienf λ (u,ξ) = 1 2 (ξ2 − λ 2 u 2 ) ;D = { v ∈ C 1([0, 1]): v(0) = v(1) = 0}undI(v) =∫ 10f λ(u(x),u ′ (x) ) dx = 1 2= 1 2(|u|22,1,(0,1) − λ 2 ‖u‖ 2 2,(0,1)).∫ 10(|u ′ (x)| 2 − λ 2 |u(x)| 2) dxDie Eulergleichung lautet in diesem Fall wegen ∂ ∂ξ f λ(u,ξ) = ξ und ∂∂u f λ(u,ξ) = −λ 2 u :u ′′ + λ 2 u = 0, u(0) = u(1) = 0.Das erste Integral dieser Gleichung ist −u ′ (x) 2 + 1 2[u ′ (x) 2 − λ 2 u(x) 2] = c , also12 u′ (x) 2 + λ22 u(x)2 = c .Für jedes λ ist u = 0 eine Lösung des Eulergleichung. Dies ist jedoch nicht in jedem Fallein Minimum des Funktionals I, wie ich gleich zeigen werde.Falls eine Funktion u ∈ D existiert mit I(u) < 0, dann besitzt I kein Minimum, wegenαu ∈ D für α ∈ R undfür |α| → ∞.∫ 1I(αu) = 1 (|αu ′ (x)| 2 − λ 2 |αu(x)| 2) dx2 0= α 2 I(u) → −∞Wenn also I ein Minimum auf D besitzt, folgt I(u) ≥ 0 für alle u ∈ D , also∫ 10∫ 1|u ′ (x)| 2 dx ≥ λ 2 |u(x)| 2 dxfür alle u ∈ C 1 ([0, 1]) mit u(0) = u(1) = 0. Natürlich ist in diesem Fall die Funktionu ≡ 0 ein Minimum von I auf D , wegen0 = I(u) ≤ I(v),v ∈ D .Aus der Poincaréschen Ungleichung (Satz 2.19) folgt, daß die obenstehende Ungleichunggilt für λ 2 ≤ 2, wegen∫ 100|u ′ (x)| 2 dx = |u| 2 2,1,(0,1)∫ 1≥ 2‖u‖ 2 2,(0,1) ≥ λ 2 |u(x)| 2 dx.051