Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Definition 4.2 (Subdifferentiale für Funktionen von n Variablen) Seif : R n → (−∞, ∞]. Das Subdifferential ∂f von f ist eine Funktion ∂f : R n → P(R \ )(= Potenzmenge von R n ) , die folgendermaßen definiert ist:z ∈ ∂f(y) ⇐⇒ ∀x ∈ R n : f(x) ≥ f(y) + z · (x − y).Satz 4.1 sagt also, daß bei einer konvexen Funktion f das Subdifferential an keiner Stelleleer ist: ∂f(y) ≠ ∅ für alle y ∈ R n .Ich werde das Subdifferential später genauer untersuchen.Definition 4.3 (Legendretransformation) Sei f : R n → [−∞, ∞] und sei f ∗ : R n →[−∞, ∞] definiert durchf ∗ (y) = supx∈R n {x · y − f(x)}.f ∗ heißt Legendretransformierte von f .Lemma 4.4 (Eigenschaften der Legendretransformation) Sei f : R n →[−∞, ∞]. Dann gilt:(i) f ∗ ist konvex.(ii) Es gilt (f ∗ ) ∗ ≤ f . Ist f : R n → R konvex, dann gilt (f ∗ ) ∗ = f .(iii) Sei f ∈ C 1 (R n , R) konvex. Dann giltfür alle x ∈ R n .(iv) Sei f strikt konvex undf ∗( ∇f(x) ) = ∇f(x) · x − f(x)R(∂f) = ⋃Dann ist f ∗ stetig differenzierbar auf R(∂f).x∈R n ∂f(x).(v) Sei f ∈ C 1 (R n , R) strikt konvex. Dann ist die Abbildung x ↦→ ∇f(x) : R n → R ninjektiv. Gilt außerdemf(x)lim = ∞,|x|→∞ |x|dann ist diese Abbildung sogar bijektiv, und es gilt für ihre Inverse gf ∗ (y) = y · g(y) − f ( g(y) )sowieg(y) = ∇f ∗ (y).Die Aussage (iv) will ich hier nicht beweisen.58