Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

4 Klassische Methoden. Hamilton-Jacobi Theorie4.1 Legendretransformation, Subdifferential In diesem Abschnitt werde ich dieHamilton-Jacobi Theorie darstellen, die auch zu den klassischen Methoden der Variationsrechnunggehört. Ich diskutiere die kanonische Form der Eulergleichung und dieHamilton-Jacobi Gleichung. Neben anderen Beispielen für die Anwendung der Theoriebetrachte ich das Fermatsche Prinzip des kürzesten Lichtweges, leite die kanonischeForm der Eulergleichung zu diesem Variationsproblem her und zeige, daß in diesem Beispieldie Hamilton-Jacobi Gleichung mit der Eikonalgleichung der geometrischen Optikübereinstimmt.Als Hilfsmittel benötige ich die Legendretransformation, die ich zunächst studiere.Nach Lemma 3.2 (i) gilt für jede konvexe Funktion f ∈ C 1 (R n , R), daßf(x) ≥ f(y) + ∇f(y) · (x − y)für alle x,y ∈ R n . Im folgenden Satz wird dieses Ergebnis auf beliebige konvexe Funktionenverallgemeinert:Satz 4.1 Sei f : R n → R konvex. Dann gibt es zu jedem y ∈ R n ein z ∈ R n mitfür alle x ∈ R n .f(x) ≥ f(y) + z · (x − y)Beweis: Im Beweis brauche ich die beiden folgenden Resultate:(i) Jede konvexe Funktion f : R n → R ist stetig. (Diese Aussage gilt nicht für konvexeFunktionen f : X → R mit beliebigem Vektorraum X als Definitionsbereich .)(ii) (Trennungssatz.) Sei C eine nichtleere, konvexe und offene Teilmenge des R m undsei ξ ein Punkt des R m , der nicht zu C gehört. Dann gibt es eine Hyperebene im R m ,die C von ξ trennt.Ich will beide Aussagen nicht beweisen. Die erste ist ein Ergebnis aus der Infinitesimalrechnungfür Funktionen mehrerer Variablen, und die zweite ist ein einfacher Spezialfalleines funktionalanalytischen Resultates, das für allgemeine topologische Vektorräumegilt (siehe H.H. Schäfer: Topological Vector Spaces, Springer 1966, S. 64).Es sei nun f : R → R eine konvexe Funktion undepi (f) = {(x,λ) ∈ R n × R : λ ≥ f(x)}der Epigraph von f . Weil f nach (i) stetig ist, ist das Innere der Menge epi (f) nichtleer, also◦⌢epi (f) ≠ ∅.Aus der Konvexität von f folgt sofort, daß epi f eine konvexe Teilmenge von R n+1ist. Sei nun y ∈ R n . Dann gehört der Punkt (y,f(y)) zum Rand von epi (f), also◦⌢ist (y,f(y)) /∈ epi (f) , und somit gibt es nach (ii) eine Hyperebene in R n+1 , die die56