Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Dann ist v(x) ∈ W(x,u(x)), also (x,u(x),v(x)) ∈ W für alle x ∈ [a,b], und es folgtdurch Anwendung der Inversen auf diese Gleichungu ′ (x) = g ( x,u(x),v(x) )( )= H v x,u, (x),v(x)v ′ (x) =d ( [f ξ x,u(x),u ′ (x) )]dx( = f u x,u(x),u ′ (x) )(= f u x,u(x),g ( x,u(x),v(x) ))= − H u(x,u(x),v(x)).Also ist (u,v) eine Lösung von (1). Sei umgekehrt (u,v) ∈ C 2 ([a,b]) × C 1 ([a,b]) eineLösung von (1). Dann folgtalso durch Anwendung der Inversenu ′ (x) = H v(x,u(x),v(x))= g(x,u(x),v(x)),f ξ(x,u(x),u ′ (x) ) = f ξ(x,u(x),g ( x,u(x),v(x) )) = v(x),undv ′ (x) = − H u(x,u(x),v(x))= f u(x,u(x),g ( x,u(x),v(x) ))= f u(x,u(x),u ′ (x) ) .Durch Kombination der beiden letzten Gleichungen ergibt sichd[ (f ξ x,u(x),u ′ (x) )] = ddxdx v(x) = f (u x,u(x),u ′ (x) ) .Also ist u eine Lösung von (2). Damit ist der Satz bewiesen.4.3 Hamiltonsche Differentialgleichungen, kanonische Form der EulergleichungFür (u,v) ∈ C 1 ([a,b]) × C([a,b]) seiJ(u,v) =∫ ba[u ′ (x)v(x) − H ( x,u(x),v(x) )] dx.Um die Eulergleichung zu diesem Variationsfunktional auszurechnen, sei w = (u,v) ∈C 2 ([a,b]) × C 1 ([a,b]) ein stationärer Punkt von J , d.h. für alle ϕ ∈◦C∞((a,b), R 2 ) seiddt J(w + tϕ) | t=0= 0,64