Variationsrechnung und SobolevrÃ¤ume - Fachbereich Mathematik ...

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also u ε ∈ D , undI(u ε ) ===≤∫ 1−1∫ 1−1∫ ε−ε∫ ε−ε(u′ε (x) 2 − 1 ) 2dx(Hε (x) 2 − 1 ) 2dx(Hε (x) 2 − 1 ) 2dxdx = 2ε → 0für ε → 0, also inf v∈D I(v) = 0, wie behauptet, und I hat kein Minimum auf D .Jedoch nimmt I auf einem größeren Raum ˜D das Minimum an. Zur Konstruktion von˜D beachte man, daß die Familie {u ε } ε>0 für ε → 0 im Raum H1((−1, p 1)) mit 1 ≤ p < ∞gegen die Funktion { −(x + 1), − 1 ≤ x ≤ 0u(x) =x − 1, 0 ≤ x ≤ 1konvergiert. Wegen u ∈ H p 1((−1, 1)) mit u ′ (x) = H(x) gilt I(u) = 0. Also ist u einMinimum von I auf dem Raum˜D = D Hp 1 ((−1,1)) ⊆ H p 1((−1, 1)).Dieses Minimum ist aber nicht eindeutig, vielmehr gibt es unendlich viele Minima in ˜D .Ein weiteres Minimum ist zum Beispiel −u .3.2.2 Der Fall f(x,u,ξ) = f(x,ξ) In diesem Fall lautet die Eulergleichungalsod [fξ (x,u ′ ) ] = 0,dxf ξ (x,u ′ ) = const.Das folgende Beispiel für diesen Fall stammt von Weierstraß: Seien f(x,ξ) = xξ 2 und( ) }D ={v ∈ C 1 [0, 1] : v(0) = 1, v(1) = 0 .Ich werde zeigen, daß das FunktionalI(v) =∫ 10f ( x,v ′ (x) ) dx =∫ 10x ( v ′ (x) ) 2dxkein Minimum auf D besitzt. Die Eulergleichung zu diesem Funktional istxu ′ (x) = c = const,44
alsou ′ (x) = c x .Die allgemeine Lösung lautetu(x) = c log x + dmit beliebigen Konstanten c und d. Das Randwertproblem (E) ist also nicht lösbar, weiles nicht möglich ist, c und d so zu bestimmen, daßu(0) = 1, u(1) = 0gilt. Dies bedeutet, daß I auf D kein Minimum u ∈ D ∩ C 2 ([0, 1]) besitzt. Ich zeige, daßI überhaupt kein Minimum u ∈ D besitzt. Hierzu beweise ich wieder, daßinf I(v) = 0v∈D(∗)ist. Für ein Minimum würde hieraus folgen x(u ′ (x)) 2 = 0 für fast alle x ∈ [0, 1], alsou ′ ≡ 0. Natürlich gibt es keine Funktion u ∈ C 1 ([0, 1]) mit u(0) = 1,u(1) = 0 undu ′ ≡ 0.Zum Beweis, daß inf v∈D I(v) = 0 ist, sei m ∈ N und{1, 0 ≤ x ≤ 1 mv m (x) =1, ≤ x ≤ 1 mEs ist v m ∈ H1((0, p 1)) für 1 ≤ p < ∞ mit{alsov ′ m(x) =log xlog 1 m1x log 1 m0, 0 ≤ x ≤ 1 m1, ≤ x ≤ 1,mI(v m ) ===∫ 10x ( v ′ m(x) ) 2dx =∫ 11 [ ] 1( )log1 2 log x 1mm1log m1m1x(log m) 2dx1= −( )log1 2log 1 mmHieraus folgt lim m→∞ I(v m ) = 0. Dies genügt nicht zum Beweis von (∗) wegen v m /∈ D .Deswegen konstruiere ich zu jedem m ∈ N eine Folge {ϕ mk } ∞ k=1 mit ϕ mk ∈ D undlim ‖v m − ϕ mk ‖ 2,1,(0,1) = 0.k→∞45
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Seite 10 und 11: 1.2.4 Dirichletsches Integral Sei n
Seite 12 und 13: die Parametrisierung einer geschlos
Seite 14 und 15: Eine Möglichkeit, das Minimum eine
Seite 16 und 17: der Variationsrechnung und für die
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Seite 25 und 26: µ - fast überall. Da |f(x)−f l
Seite 27 und 28: Satz 2.7 (Vollständigkeit der Sobo
Seite 29 und 30: des Hilbertraumes H m (Ω) , also s
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Seite 33 und 34: Beweis: Sei E ⊆ Ω meßbar und be
Seite 35 und 36: für alle x mit dist(x, supp u) >
Seite 37 und 38: Wegen V i ⊆ U i ist dist(V i ,
Seite 39 und 40: Beweis: Sei ϕ ∈ C∞(Ω) ◦ , s
Seite 41 und 42: alsof(x) ≥ f(y) + ∇f(y) · (x
Seite 43 und 44: 0 = d dt I(u + tϕ) | t=0= d dt==
Seite 45 und 46: Teilmenge von [a,b], auf der sich u
Seite 47: für alle x ∈ [−1, 1]. Wenn u s
Seite 51 und 52: Beweis: Sei a < y < b. Seiχ y (x)
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Seite 69 und 70: also0 = d dt J(w + tϕ) | t=0∫ b
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Seite 79 und 80: für alle (x,u) ∈ U . Ich werde z
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Seite 89 und 90: eine stetige, (komplex) lineare Abb
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) Sei H ein reeller Hilbertraum, se
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für alle x ∈ H . Dann nimmt f +g
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7 Direkte Methoden der Variationsre
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Beweis: Seien v 1 ,v 2 ∈ M(F,b) u
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für alle u ∈ M . Für alle ander
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folglichund somit∫ x1y 1|y 1|u(z)
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dem Satz von Beppo Levi1(w,v − u)
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weil man dann in (∗) v = u±ϕ se
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für alle ξ ∈ R n . Dann gilt∂
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8 Existenztheorie für das Hinderni
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für fast alle x ∈ ∂Ω. Wegen j
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=+≤=∫1 [lim |t∇v − (1 − t
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.) u ∈ M und∫ []1Ω 2 |∇u(x)|
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[19] A. Sommerfeld: Partielle Diffe
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