Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

5 Schwache Topologie von Banachräumen5.1 Konvexe Mengen in Banachräumen, TrennungssatzDefinition 5.1 (Konvexe Hülle) Sei V ein normierter Raum und M ⊆ V . Die Mengeconv M = { ∑ λ i x i | N endliche Teilmenge von N, x i ∈ M , λ i ≥ 0, ∑ λ i = 1 }i∈Ni∈Nheißt konvexe Hülle von M .Ist M konvex, dann auch M . Ist M offen, dann auch conv M , wegenconv M =⋃ ( ∑λM ) .I⊆[0,1] λ∈IPI endlichλ∈I λ=1Satz 5.2 Sei H ein Hilbertraum, und sei M ⊆ H abgeschlossen und konvex, M ≠ ∅.Dann existiert für jedes x ∈ H ein eindeutiges y ∈ M mit‖x − y‖ = inf ‖x − η‖ .η∈MBeweis. Sei η k ∈ M mit lim k→∞ ‖η k − x‖ = inf η∈M ‖η − x‖ = d .Die Parallelogrammgleichungergibt mit u = x − η k , v = x − η l‖u + v‖ 2 + ‖u − v‖ 2 = 2‖u‖ 2 + 2‖v‖ 2(∗) ‖η k − η l ‖ 2 = 2‖x − η k ‖ 2 + 2‖x − η l ‖ 2 − 4‖x − 1 2 (η k + η l )‖ 2 .Da M konvex ist, ist 1 2 (η k + η l ) ∈ M , somitd 2 ≤ ‖x − 1 2 (η k + η l )‖ 2 .Zu jedem ε > 0 gibt es l 0 mit ‖η l − x‖ < d + ε für alle l ≥ l 0 . Aus (∗) folgt also für0 < ε ≤ 1 und k,k ≥ l 0‖η k − η l ‖ 2 ≤ 2‖x − η k ‖ 2 + 2‖x − η l ‖ 2 − 4d 2≤ 2(d + ε) 2 + 2(d + ε) 2 − 4d 2= 8dε + 4ε 2 ≤ (8d + 4)ε .Also ist {η l } ∞ l=1 eine Cauchyfolge und hat den Grenzwert y . Da M abgeschlossen ist, isty ∈ M und für dieses y gilt‖x − y‖ = ‖x − limk→∞η k ‖ = limk→∞‖x − η k ‖ = d .78