Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Beweis: Sei {x n } ∞ n=1 ⊆ B 1 (0) . Es muß gezeigt werden, daß es eine Teilfolge {x nk } ∞ k=1und x ∈ B 1 (0) gibt mit(y,x nk ) → (y,x)für alle y ∈ H . Hierzu seiĤ = span {x n } ∞ n=1 .Dies ist ein abgeschlossener Unterraum von H , also selbst ein Hilbertraum. Außerdemist Ĥ separabel, das heißt, es gibt eine abzählbare dichte Teilmenge {y l} ∞ l=1 von Ĥ .Es genügt nun zu zeigen, daß es eine Teilfolge {x nk } ∞ k=1 und x ∈ Ĥ ∩ B 1(0) gibt mit(∗)(z,x nk ) → (z,x)für alle z ∈ Ĥ . Denn sei H⊥ der Orthogonalraum von Ĥ . Dann kann jedes y ∈ H zerlegtwerden iny = z + z ⊥mit z ∈ Ĥ und z⊥ ∈ H ⊥ . Aus (∗) folgt dann(y,x nk ) = (z,x nk ) + (z ⊥ ,x nk ) = (z,x nk )−→ (z,x) = (z,x) + (z ⊥ ,x) = (y,x) ,wegen x nk , x ∈ Ĥ .Zum Beweis von (∗) wähle mit dem Diagonalverfahren eine Teilfolge {x nk } ∞ k=1daß die Folge{(y l ,x nk )} ∞ k=1in K konvergiert für alle l . Dann konvergiert auch die Folgeso aus,für jedes y ∈ Y = span {y l } ∞ l=1 ⊆ Ĥ , wegen{(y,x nk )} ∞ k=1y = α 1 y l1 + ... + α m y lmfür jedes y ∈ Y mit geeigneten m und α 1 ,...,α m ∈ K . Definiere eine Abbildung f :Y → K durchf(y) = limk→∞(y,x nk ) .Es gilt für y,z ∈ Yf(y + z) =limk→∞(y + z,x nk ) = limk→∞(y,x nk ) + limk→∞(z,x nk )= f(y) + f(z) ,und ebenso f(λy) = λf(y) , also ist f linear. Weiterhin gilt|f(y)|= | limk→∞(y,x nk )| ≤ limk→∞|(y,x nk )|≤lim sup ‖y‖ ‖x nk ‖ ≤ ‖y‖ ,k→∞87