Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

= π 2 limk∑k→∞m,l=1= π 2 limk→∞‖( ∑kα m α l (u m ,u l ) (0,1) = π 2 limk→∞k∑α m u m ‖ 2 (0,1) = π 2 ‖u‖ 2 (0,1)m=1∫ 1= π 2 |u(x)| 2 dx,0m=1α m u m ,k∑α l u l)(0,1)weil ∑ ∞m=1 α mu m bezüglich der L 2 –Norm gegen u konvergiert, und (u m ,u l ) (0,1) = 0 istfür m ≠ l .Dies beweist die Wirtingersche Ungleichung.3.3 Der allgemeine Fall. Das Fermatsche Prinzip Bei der Bestimmung deskürzesten Lichtweges (Beispiel 1.2.1) ist das Funktionalzu minimieren mitI(v) =∫ baf ( x,v(x),v ′ (x) ) dxf(x,u,ξ) = n(x,u) √ 1 + ξ 2 .In diesem Fall lautet die Eulersche Differentialgleichung(dn ( x,u(x) ))u ′ (x)√ = ∂dx1 + u′ (x) 2 ∂u n( x,u(x) ) √1 + u′ (x) 2 .Diese Gleichung ist sehr unübersichtlich. Eine übersichtlichere Form erhält man spätermit der Hamilton–Jacobi–Theorie.Lemma 3.5 (Zweite Form der Eulergleichung) Sei f ∈ C 2 ([a,b] × R × R). Wennu ∈ C 2 ([a,b]) eine Lösung der Eulergleichung ist, dann giltBeweis: Es giltd[f ( x,u(x),u ′ (x) ) (− u ′ (x)f ξ x,u(x),u ′ (x) )] (= f x x,u(x),u ′ (x) )dxd [f(x,u,u ′ ) − u ′ f ξ (x,u,u ′ ) ] − f x (x,u,u ′ )dx= f x + f u u ′ + f ξ u ′′ − f ξ u ′′ − u ′ ddx f ξ − f x = u ′( f u − ddx f )ξ = 0,weil f u − ddx f ξ = 0 ist. Damit ist das Lemma bewiesen.l=155