Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

¨s(t) = d2 sdt 2 (t) = g cos β = g cos ( π2 − α) = g sin α= gtanα√1 + tan 2 α = −g u ′ (x)√1 + u′ (x) ,2wobei x = x(t) die x–Komponente des Ortes des Massenpunktes zur Zeit t ist. Manbeachte nun, daßddsṡ(s) =d ds[ds( )] d 2 s( ) dtt(s) = t(s) ·dt dt 2 ds (s)= ¨s ( t(s) ) 1( ) = ¨s(s) t(s)dsdt1ṡ(s) ,also[ dds ṡ(s)] ṡ(s) = d (1ds 2 ṡ(s)2) = ¨s(s),und somit ergibt sich für die Bahngeschwindigkeitṡ(s) 2 = 2= 2= 2g∫ s0∫ s0¨s(σ)dσ + ṡ(0) 2 = 2∫ s0¨s(σ)ds( ( −gu′x(σ) ) )√1 + u ′( x(σ) ) dσ = 22∫ x(s)0∫ x(s)0−gu ′ (x) ds√1 + u′ (x) 2 dx dx(−u ′ (x) ) dx = −2g [ u ( x(s) ) − α ] = −2g u ( x(s) ) .Hierbei sei x(s) die x–Komponente des Massenpunktes. Ich habe benützt, daß die Geschwindigkeitṡ(0) am Punkt (a,α) verschwindet. Die Vereinfachung im letzten Schrittergibt sich, wenn man das Koordinatensystem so wählt, daß α = 0 gilt.Wenn l die Bogenlänge zwischen (a,α) und (b,β) ist, ergibt sich also für die LaufzeitT zwischen diesen PunktenT = t(l) − t(0) ==∫ l0∫ l0∫dtlds (s)ds =∫1b√−2gu ( x(s) ) ds = a0dsdt1( ) ds = t(s)∫ l∫1 ds b√−2gu(x) dx dx =01ṡ(s) dsZur Lösung des Brachistochronenproblems setze also m = N = 1 ,√1 + ξf(x,u,ξ) =2−2gua√1 + u ′ (x) 2−2gu(x) dx .undD = {v ∈ C 1 ([a,b], R) : v(a) = 0, v(b) = β} .4