Variationsrechnung und SobolevrÃ¤ume - Fachbereich Mathematik ...

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Satz 3.3 (Eulergleichung) Seien a < b,f ∈ C 2 ([a,b] × R × R),α,β ∈ R,[ ) }D ={v ∈ C 1 [a,b], R : v(a) = α,v(b) = β ,und I : D → R mitI(v) =∫ baf ( x,v(x),v ′ (x) ) dx.(i) Es existiere ein Minimum u von I in D , und für dieses Minimum gelte zusätzlichu ∈ C 2 ([a,b], R). Dann gilt für dieses Minimum[ (f ξ x,u(x),u ′ (x) )] (= f u x,u(x),u ′ (x) ) , x ∈ [a,b]ddxu(a) = α ,u(b) = βwobei f ξ (x,u,ξ) = ∂ f(x,u,ξ),f ∂ξ u = ∂ f(x,u,ξ) bedeute.∂u(ii) Sei umgekehrt u ∈ C 2 ([a,b]) eine Lösung des Randwertproblems (E) und sei(u,ξ) ↦→ f(x,u,ξ) : R 2 → Reine konvexe Funktion für jedes x ∈ [a,b]. Dann giltI(u) = minv∈D I(v).(iii) Sei (u,ξ) ↦→ f(x,u,ξ) strikt konvex für jedes x ∈ [a,b]. Dann besitzt I höchstens einlokales Minimum. Wenn ein lokales Minimum existiert, ist dies gleichzeitig ein globalesMinimum (das dann natürlich auch eindeutig ist).(E)Die Differentialgleichung im Randwertproblem heißt Eulergleichung zum VariationsfunktionalI(v). Die Eulergleichung ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung.Beweis: (i) Es sei u ∈ D ∩ C 2 ([a,b], R) ein Minimum des Variationsfunktionals I(v).Dann ist für jedes ϕ ∈ C∞((a,b), ◦ R) und t ∈ R die Funktion u + tϕ ∈ D wegen(u + tϕ)(a) = u(a) + 0 = α , (u + tϕ)(b) = u(b) + 0 = β , sowieI(u) ≤ I(u + tϕ).Also hat die reelle Funktion t ↦→ I(u + tϕ) : R → R ein Minimum an der Stelle t = 0,und somit folgt38
0 = d dt I(u + tϕ) | t=0= d dt==∫ ba∫ ba∫ baf ( x,u(x) + tϕ(x),u ′ (x) + tϕ ′ (x) ) dxddt f( x,u(x) + tϕ(x),u ′ (x) + tϕ ′ (x) ) | t=0dxf ξ(x,u(x),u ′ (x) ) ϕ ′ (x) + f u(x,u(x),u ′ (x) ) ϕ(x)dx.Diese Gleichung, die für alle ϕ ∈ C∞((a,b)) ◦ gilt, heißt schwache Form der EulerschenDifferentialgleichung. Zur Herleitung dieser Gleichung benötigt man nurf ∈ C 1 ([a,b] × R × R) und u ∈ C 1 ([a,b]).Zur Ableitung der Eulergleichung benutzt man nun, daß wegen der Voraussetzungenf ∈ C 2 ([a,b] × R × R) und u ∈ C 2 ([a,b]) partiell integriert werden darf. Es folgt0 ==∫ ba[− d [ (f ξ x,u(x),u ′ (x) )] (ϕ(x) + f u x,u(x),u ′ (x) ) ]ϕ(x) dxdx(+ f ξ b,u(b),u ′ (b) ) (ϕ(b) − f ξ a,u(a),u ′ (a) ) ϕ(a)[− ddx f (ξ x,u(x),u ′ (x) ) (+ f u x,u(x),u ′ (x) )] ϕ(x)dx,∫ bweil ϕ(a) = ϕ(b) = 0. Wegena− ddx f (ξ x,u(x),u ′ (x) ) (+ f u x,u(x),u ′ (x) ) ( )∈ C ( 0 [a,b] ⊆ L1,loc(a,b) )folgt aus dem Fundamentallemma der Variationsrechnung (Lemma 2.15), daßddx f (ξ x,u(x),u ′ (x) ) (− f u x,u(x),u ′ (x) ) = 0gilt für alle x ∈ [a,b]. Also ist das Minimum u eine Lösung des Randwertproblems (E).(ii) Sei u ∈ C 2 ([a,b]) eine Lösung von (E) . Wenn (µ,ξ) ↦→ f(x,µ,ξ) konvex ist, gilt nachLemma 3.2 (i) für alle µ,ξ ∈ Rf(x,µ,ξ) ≥ f ( x,u(x),u ′ (x) )+ f u(x,u(x),u ′ (x) )( µ − u(x) )+ f ξ(x,u(x),u ′ (x) )( ξ − u ′ (x) ) .39
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Lemma 6.6 Sei H ein Hilbertraum, se
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also istt(x,λ) + (1 − t)(y,µ) =
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) Sei H ein reeller Hilbertraum, se
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Beweis: Seien v 1 ,v 2 ∈ M(F,b) u
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für alle u ∈ M . Für alle ander
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folglichund somit∫ x1y 1|y 1|u(z)
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weil man dann in (∗) v = u±ϕ se
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für alle ξ ∈ R n . Dann gilt∂
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für fast alle x ∈ ∂Ω. Wegen j
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=+≤=∫1 [lim |t∇v − (1 − t
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.) u ∈ M und∫ []1Ω 2 |∇u(x)|
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[19] A. Sommerfeld: Partielle Diffe
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