Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

(ii) u ∈ M ∗ ,und(∗∗)∫Ω∫Ω|a(∇u(x)) · (∇v(x) − ∇u(x))|dx < ∞[a(∇u(x)) · (∇v(x) − ∇u(x)) + (λu(x) − f(x)) (v(x) − u(x)) ]dx ≥ 0für alle v ∈ M ∗ . Hierbei sei a(ξ) = grad f(ξ).Bemerkung. Die Ungleichung (∗∗) heißt Variationsungleichung. Dies ist eine Verallgemeinerungder schwachen Eulergleichung aus Satz 3.3.Beweis: Im Beweis von Folgerung 6.14 wurde gezeigt, daß∂(Ṽ (u) + λ2 ‖u‖2 Ω) = λu + ∂Ṽ (u)ist. Da Ṽ (u) + λ 2 ‖u‖2 Ωkonvex ist, ist (i) nach Lemma 6.12 äquivalent zualso äquivalent zuf ∈ ∂(Ṽ (u) + λ 2 ‖u‖2 Ω) = λu + ∂Ṽ (u) ,f − λu ∈ ∂Ṽ (u) ,und dies ist nach Satz 7.7 äquivalent zu (ii) .7.3 Äquivalenz zwischen Randwertproblemen, Variationsgleichung und Variationsproblem7.3.1 Das Subdifferential Es soll nun der Zusammenhang zwischen der Variationsungleichungund der partiellen Differentialgleichung untersucht werden. Nach Satz 7.7ist w ∈ ∂Ṽ (u) genau dann, wenn u ∈ M(F,b) und∫(∗)a(∇u(x)) · (∇v(x) − ∇u(x))dx ≥ (w,v − u) Ωgilt für alle v ∈ M(F,b) . Hieraus folgt, daßΩw + ( − u + M(F,b) ) ⊥⊆ ∂ Ṽ (u)gilt, wobei w ein beliebiges Element aus ∂Ṽ (u) ist. Also kann∂Ṽ (u) = {−div a(∇u)}höchstens dann gelten, wenn (−u + M(F,b)) ⊥= {0} ist. Um schwache Ableitungendefinieren zu können, möchte man insbesondere haben, daß ◦ C∞(Ω) ⊆ −u+M(F,b) gilt,108